反比例函数中“K”的性质对面积的影响

[摘要] 本文主要通过实例分析和规律总结的方式，来探讨研究反比例函数中的“K”的性质对解决各种图形面积问题的影响。

[关键词] 反比例函数基本特征图形图形面积解析式

近些年来，反比例函数因其内容丰富，涉及知识点广，可以挖掘的地方多，从而逐渐成为中考试题的重点内容之一。本文主要通过实例分析和规律总结的方式，来探讨研究反比例函数中的“K”的性质对解决各种图形面积问题的影响，展现其对解决相关面积问题的作用。希望能帮助学生解决在相关题型中碰到的各种问题，提高学生对这类问题解决的正确率和解题速度。

（一）反比例函数“K”的意义

（1）反比例函数的代数意义：反比例函数关系的两个变量，必须满足它们的乘积是一个定值，这个定值就是反比例函数的系数“K”，这是一个非零的常数，可以是正数，也可以是负数。

（2）反比例函数的几何意义：反比例函数中中的K有以下几何意义。如图，过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN，垂足分别为M、N，所得到的矩形AMON的面积为|k|。理由如下：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|， 又y=，xy=k，=|k|，。

由此可知，过双曲线上任一点，分别做X轴、Y轴的垂线，两垂线段与两坐标轴所构成矩形的面积为一个定值，这个定值就是反比例函数的系数|k|。这就是系数k的几何意义。

（3）这一意义可以结合各种图形，归纳出一些的它们的基本特征图形，在解决与反比例有关的图形问题时，有着非常重要的作用。

比如，我们把这一意义放在矩形中就可以得到关于矩形的基本特征图形。左图中各矩形面积均等于|K|，右图是以正比例函数和反比例函数相交的两交点形成的线段为对角线的矩形，其面积为4|K|。

这些基本特征图形对学生的解题思路和解题速度有着积极的影响。

（二）反比例函数与三角形的面积

（1）反比例函数与直角三角形面积

①反比例直角三角形基本特征图形为：

反比例直角三角形基本特征图形面积均相等：均为|K|的一半。

反比例直角三角形基本特征图形的变化应用

【例】如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点。过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则()．

A．S1

分析：S1，S2，S3，S1=S2=S3。故选D。

（2）反比例函数与斜三角形面积

反比例斜三角基本特征图形

反比例斜三角基本特征图形一：面积均为|K|的一半；反比例斜三角基本特征图形二：面积为|K|；反比例斜三角基本特征图形三：面积为|K|的一半。

②反比例斜三角基本特征图形的变化应用

基本思路1：把斜三角转分割为直角三角形解决。

【例】如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标和点B的纵坐标均为－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）的面积。

略解：（1）易得A、B的坐标分别为（－2，4），（4，－2）

，解得，所求一次函数的解析式为。

（2）易得直线与x轴的交点C的坐标为（2，0），

基本思路2：利用反比例直角三角基本特征图形解决。

【例】如右图，A为反比例函数图形上一点，AB垂直X轴于B，C为Y轴上任一动点，试求三角形ABC的面积。

解：由三角形同底等高面积相等可知，三角形ABC的面积恒等于反比例基本特征矩形面积的一半，即1/2|K|。所以SABC=1。

（有关反比例函数与平行四边形、梯形等特殊四边形的面积，这里不再赘述。）

（三）研究的结论

在与反比例有关的图形面积问题的教学上，我们只要讲清抓透反比例系数“K”的几何意义，引导学生熟悉由此推出的“矩形基本特征图形面积等于|K|”,“直三角形基本特征图形面积等于|K|的一半”这两个基本结论，熟悉复杂图形的转化思想和方向，就可以提高他们对这类与反比例有关的图形面积问题解决的正确率和解题速度。

[文献资料]

林立军《第十七章“反比例函数”简介》（课程教材研究所来自网络资源）

（作者单位：浙江省金华市婺城区罗埠初中）