心中有“数” 胸中有“形”

数形结合是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题方法.如何将抽象的数与直观的形有机地联系起来，使问题获得解决，这是需要认真探究的课题.

图1

一、 注意探究数、形联系的规律

例1 （2011广西桂林）双曲线y1、y2在第一象限的图象如图1，y1=4x，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若SAOB=1，则y2的解析式是 .

剖析 双曲线y=kx中，k的几何意义是什么？由双曲线上任一点（x,y）的坐标满足xy=k,双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积为|x|·|y|=|xy|，这就是说|k|的几何意义是双曲线上任一点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的矩形的面积.

本题中SAOB=SOBC-SOAC=k2-42=1，解得k=6,所以y2=6x.

图2

例2 （2011陕西）如图2，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-4x和y=2x的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为

（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

剖析 由于AB∥x轴，利用等积性知SABC=SABO，连接AO、BO，由k的几何意义，有SBPO=22=1，SPAO=|-4|2=2，所以SABC=3.

点评 掌握一些数、形联系的规律，常能给解题带来便捷，尤其对填空题、选择题.

图3

二、 抓住图形的特殊性

例3 （2011江苏南京）如图3，在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为23，则a的值是

（ ）

A. 22 B. 2+2

C. 23 D. 2+3

剖析 a是P点的纵坐标，过P作PDx轴于D，那么PD=a.注意到直线y=x是第一象限的角平分线，∠AOD=45°，设PD与OA交于E点，则DE=OD=xP=2.求PD就转化为求PE.由垂径定理，过P作PCAB于C，得弦心距PC=22-（3）2=1.由于∠PEC=∠OED=45°,PCE为等腰直角三角形，得PE=2PC=2.所求a值为2+2.

图4

点评 抓住特殊角45°，简化了解题过程，也使计算更为便捷.

例4 （2011广东深圳）如图4，ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为y=12x-1,则tanA的值是 .

剖析 由题意知BOC为等腰直角三角形，BO为∠ABC的平分线，得∠ABO=45°，所以∠ABC=90°，tanA=BCAB.由于BC=2OC=22，问题归结于求AB.过A作AFy轴于F，注意到∠BAF=45°，有AF=BF，AB=2AF.易知AC与y轴的交点E（-1，0），OCE∽FAE，可得AFEF=OCOE=21，则AF=2EF，又BE=2+1=3，所以AF=6，tanA=BCAB=OCAF=26=13.

求AF之长也可以利用直线AC的方程，由于直线AC的方程y=12x-1是已知的，可假设Aa，12a-1，考虑坐标与线段长之间的联系，有AF=-a，OF=-12a-1.由AF=BF，得-a=-12a-1+2,12a=-3,a=-6，所以AF=6.

点评 再次体会特殊角在解题中的作用.由于灵活运用坐标与线段长的关系（数与形的联系），简化了解题过程，这比求AB的方程，再解方程组，求出A点的坐标要简单些.

三、 将抽象的数量关系转化为直观图象的性质问题

例5 （2011湖北黄冈）已知函数y=(x-1)2-1(x≤3)，

(x-5)2-1(x＞3)，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为

（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

剖析 理解题意，使y=k成立的x值恰好有三个，从“形”的角度来看，就是直线y=k与该函数的图象恰好有三个交点，这样借助于函数图象的直观性，问题将很快解决.

图5

如何作出该函数的图象呢？当x≤3时，该函数的图象与抛物线y=(x-1)2-1相同；而当x＞3时，该函数的图象与抛物线y=(x-5)2-1相同.作出函数的图象如图5，知k=3时，即y=3与函数图象恰好有三个交点，故选D.

例6 （2011陕西）若二次函数y=x2-6x+c的图象经过A（-1，y1),B(2,y2),C(3+2,y3)三点，则关于y1,y2,y3大小关系正确的是

（ ）

A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2

C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2

剖析 y=x2-6x+c=(x-3)2+(c-9),抛物线的对称轴是x=3，开口向上.这时头脑中出现抛物线的大致形状，图形告诉你，

图6

到对称轴距离越小的点对应的y值越小，问题就很容易解决.如果你还达不到这种境界，那么作出函数y=(x-3)2的图象，比较A、B、C三点的纵坐标，得y1＞y3＞y2，这也是很好的方法.也许你认为，应该作出y(x-3)2+(c-9)的图象才对.事实上，y=(x-3)2+(c-9)可由y=(x-3)2通过向上（下）平移而得到，有无数条抛物线.但是图象上、下平移，图象上各点纵坐标的增加值相同，原来的大小关系保持不变.

点评 通过作出函数图象，利用图形的直观启示，问题迎刃而解，这就是数形结合的优势.本例如果将x值代入函数关系式，求出相应的y值，再比较y值的大小，也可解决，就是有点复杂了.

四、 将复杂的形转化为具体的数来研究

例7 （2011浙江宁波）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图7）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm,宽为n cm）的盒子底部（如图8），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图8中两块阴影部分周长的和是