浅析磁感应强度的瞬时变化率与平均变化率的关系
时间：2022-10-12 01:32:57
摘要：本文从一道关于磁感应强度的课后练习题出发，通过对学生的两个错解进行分析和思考，帮助学生深刻地认识到由于磁通量变化的原因不同，感应电动势产生的机理也不同；能区分磁感应强度的瞬时变化率[B
t]与较长时间内的平均变化率[Bt-BO
t]，避免在以后的学习中再犯同样的错误。
关键词：感应电动势 瞬时变化率 平均变化率 疑问 分析 思考
中图分类号：G423.02 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.179
《全日制普通高中物理作业本高三全一册》第142页有一道考查电磁感应的好题。
如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef处于竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动，此时adeb构成一个边长为L的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计。开始时，磁感应强度为B0。
①若从t=0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增量为k，同时始终保持棒静止。问t=t1时刻需加垂直于棒的水平拉力多大？
②若从t=0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右运动时，可使棒中不产生感应电流，问磁感应强度怎样随时间变化（写出B与t的关系式）。
说明：解第①问没有疑义：[I=[E
r]=[BLv
r]
]
t=t1时磁感应强度B1= B0+kt1
外力大小[F=FA=B1IL=[（B0+kt1）kL3
r]]
解第②问时出现了问题：
众所周知，产生感应电动势有两种方式：磁感应强度B的变化，线圈所在磁场面积S的变化。如果磁通量的变化仅仅是由于磁场随时间变化引起的，则E=n[BS
t]；如果磁通量的变化仅仅是由于面积随时间变化，而且是导体切割磁感线运动使面积发生变化引起的，则E=BLv。这两种产生电动势的原因不能相互替代，在本题中得到了综合。
由于学生做过2003年江苏高考题第18题，接触了电磁感应双电源的问题，留下相当深刻的印象，他们自然而然就会从两电源产生的电动势逆向串联，电流相互抵消的角度解答，并写出了如下过程。
解：设过了时间t磁感应强度减少为B，此时回路面积为S=（L+vt）L，由导体切割磁感线产生的电动势为E1=BLv（形成逆时针方向的电流），由磁场随时间变化引起的电动势为
（形成顺时针方向的电流），要使棒中不产生感应电流，必须使E1=E2，可得出 。
让我们再来看而该题所给的答案：
要使棒不产生感应电流，回路abed中磁通量应保持不变，即BL（L+vt）=B0L2
所以磁感应强度。
疑问：该解答从产生电磁感应现象的本质出发，思路清晰，过程简单明了，其结论无疑是正确的。而前面解法的结论却与它完全不同，问题到底出在哪里？
分析：主要是学生没有真正理解[B
t]的意义。因为只有B随t线性变化，也就是随着时间的推进磁感应强度均匀变化时，才能用一段较长时间t内的B的平均变化率[Bt-BO
t]来表示它的瞬时变化率[B
t]。在B与t的关系线性与否还未知的的情况下，不能随意套用公式。事实上本题中B随t是非线性变化的，其B―t图线是双曲线，各点切线的斜率的绝对值k=[B
t]随时间逐渐减小，如图2所示，因此在较长时间内的平均变化率[Bt-BO
t]不等于[B
t]，绝对不能混淆使用。以上方法在这一点上发生了错误。
思考：
能否在法拉第电磁感应定律基础上，利用两电源产生的电动势反向、大小相等的方法来求解呢？笔者认为是可行的。
方法1：金属棒从初始位置A到末位置B的过程，如图3。
先设磁感应强度B0不变，导体切割磁感线引起面积变化，AB始终是E1= B0Lv；再设面积S=（L+vt）L不变，而棒经时间t磁感应强度变为B时，
由E1=E2，
则
可得。
方法2：设从初始位置开始向右运动，经过时间t0、则位移vt0、即S0，可认为面积不变，仍是S=L2，此时切割磁感线产生的电动势为E1= BLv；磁感应强度变化产生的电动势为
由E1=E2，则可得。
无论利用“方法1”还是“方法2”对解答本题都有小题大做、化简为繁、事倍功半的嫌疑，不如直接利用感应电流的产生条件Δф=ф2-ф1=0判断。但笔者认为，这样做不仅仅提供了另外的解题途径，关键是可以帮助学生：
第一，深刻地认识到由于磁通量变化的原因不同，感应电动势产生的机理也不同；
第二，能区分磁感应强度的瞬时变化率[B
t]与较长时间内的平均变化率[Bt-BO
t]，明白只有在B随t线性变化的情况下二者取值才会相等，并能够举一反三地应用到诸如，瞬时电动势[Et=n[ф
t
]]与平均电动势[E=[ф2-ф1
t
]]的关系、瞬时变化率[V
t]与平均变化率[vt-v0
t]的关系等，避免在以后的学习中再犯同样的错误。
作者简介：肖优优（1976-），女，浙江人，本科，研究方向为教育教学，浙江省温州市第五十一中学，浙江温州 325014