集合思想在高中数学中的应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0116-02

集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是怨数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）。他的集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其概括原则用于造集，外延原则保证了集合的确定性，一一对应原则引出了基数概念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了实无穷思想。数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。人教版教材中更是注重了集合思想，下面谈谈教材在集合思想的突出应用：

应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集;（2）方程（或方程组的）解集;（3）不等式（或不等式组）的解集;（4）点集。

只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫，才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。

例1：集合M={yOy=x2-1，x∈R}，N={xOy= }，则M∩N等于（ ）

分析：集合M中的元素是y，它表示函数y=x2-1的值域，从而M={ yOy≥-1}.集合N中的元素是x，它表示函数y= 的定义域，从而N={xO- ≤x≤ }.因此，M∩N={xO-1≤x≤ }。

例2：设f（x）=x2+ax+b，a，b∈R，A={xOf（x）=x}={a}，求a，b.

分析：A是方程f（x）=x的解集，A={a}表示方程有两个相等的实根a 。方程即为x2+（a-1）x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a= ，b= 。

更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。例如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。

例3：集合A={（x，y）Oy=x+m}，B={（x，y）Oy=- }，如果A∩B是单元素集，求m的取值范围。

分析：集合A表示的是斜率为1的一组平行直线，集合B表示的方程变形为x2-y2=4（y≤0），表示双曲线x2-y2=4在x轴下方的部分（包括两个交点），而A∩B是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图：

将双曲线的一条渐近线y=x分别向上、向下平移，可得m的取值范围是m≤-2或0

集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。

应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。

用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。

如：{正方体}？缀N+{长方体}？缀N+{直平行六面体}？缀N+{四棱柱}？缀N+{棱柱};数列与函数两概念;互斥事件与对立事件两概念等。

例4：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：

A.0 B.1 C.2 D.3

分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。

例5：数列{an}是等差数列，a1=50，d= -0.6，求此数列的前n项和的最大值。

分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。

思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性 。

由a1=50，d= -0.6，得an= -0.6n+50.6，令an≤0 ，有n≥84.3。又 n？缀N+，则n≥85，即从第85项起以后各项均小于0。所以（Sn）max=S84=2108.4

思路2：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，可用二次函数的方法处理 。

Sn=50n+ ×（-0.6）=-0.3n2+50.3n，当n取接近于 的自然数，即n=4时，Sn达到最大值 S84=2108.4

例6：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，求点P在圆x2+y2=16内的概率。

分析：记点P在圆x2+y2=16内为事件A，则A是基本事件空间Ω的子集。基本事件总数是6×6=36，A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，P（A）= = 。

应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。

例7：求函数y= 的定义域。

分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。

由4-x≥0（x+1）（x-1）≠0得x≤4x≠±1

所以函数的定义域是（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，4]。

例8：已知函数y=log （3x2-ax+5）在[-1，+∞]上是减函数，求a的取值范围。

分析：本题含着两层意思：3x2-ax+5>0在[-1，+∞]上恒成立，t=3x2-ax+5在[-1，+∞]上是增函数，实数a的范围是两者的交集。

由题意得： ≤-1，且满足x=-1时3x2-ax+5>0，综上得-8

而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想（即“正难则反”思想）去解答，常常可以简化讨论。

例9：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是 。

分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有1个向上，2个向上，3个向上3类可能，正面作答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。

P=1- = 。

例10：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。

分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面作答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。

由=4-4a≥0，有a≤1。

又- >0 >0，a无解。

因此，a≤1。

布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，驾驭问题的求解，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意义。