集合的基本概念与表示方法

“集合”这一节内容是进入高中数学学习的敲门砖，而“集合”这两个字是大家都不陌生的词语。学校一般进入高一前都会进行军训，而教官使用频率较高的词语就有“集合”，通常会说“一连集合”“一连女生集合”“一连男生集合”等等。这些都是关于“集合”在生活中的应用。

一、集合的理解

教材上是这样定义集合的：一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。比如在军训中的“一连女生集合”中的一连每一个女生就是一个元素，而一连中所有的女生就构成一个集合。这样看感觉集合很简单，但是要理解集合要从以下几方面来理解：

1.集合中的元素具有确定性：比如说“漂亮的女生”就不是一个集合，因为每一个人评价漂亮的标准不同，就会出现张三觉得漂亮，王五觉得不漂亮这种情况，因此就无法判断该女生是否在该集合内，这就与集合元素的确定性相悖。简单地说就是一个元素要么属于集合，要么不属于集合，二者必居其一，且只居其一。

2.集合中的元素具有互异性：比如：5∈1，m+2，m2+4，则m的取值集合为1，-1，3。这是错误的，因为如果m取的值是-1，那么原集合就变成了1，1，5，这里的两个1相同，就与集合元素的互异性矛盾。也就是说若元素a属于集合A，元素b属于集合A，则元素a不等于元素b。

3.集合中的元素具有无序性：a，b与b，a表示同一个集合。也就是说集合中元素的位置没有前后左右之分。

二、集合的表示方法

1.列举法：常用于表示有限集，就是把集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号“ ”内，这种表示集合的方法叫做列举法。比如要表示“中国的直辖市”可以用集合表示为北京市，天津市，上海市，重庆市；要表示小于11的所有自然数组成的集合可以表示为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；要表示由方程x2=x的所有实数根组成的集合可以表示为0，1；要表示1～19以内的所有素数组成的集合可以表示为2，3，5，7，11，13，17等等，这些有限集都可以用列举法来表示。用它来表示集合简洁明了，一目了然，但只能表示有限集，且有限集里面的元素尽量少才能表示。

2.描述法：常用于表示无限集，把集合所含元素的共同特征在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。这种表示集合的方法叫做描述法。即：x|P（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）比如：x|y=x2表示函数y=x2的定义域即为R，y|y=x2表示函数的值域即为非负数集，（x，y）|y=x2表示的是函数y=x2的图像抛物线上所有点集合。这三个集合看起来相同，实际上大相径庭，因此教学时一定要强调代表元素的重要性。又比如要表示不等式x-3>2的解集可以表示为x|x-3>2；要表示二次函数y=x2-15图像上的所有点组成的集合可以表示为（x，y）|y=x2-15；要表示方程x2+y2+4x-6y+13=0的解集可以表示为（x，y）|x2+y2+4x-6y+13=0等等，这些集合都可以用描述法来表示，而对于方程x2+y2+4x-6y+13=0的解集，它既可以用列举法也可以用描述法来表示，如果用列举法表示就是（-2，3），这表示集合中有且只有一个元素，即

（-2，3）。显然，用列举法表示集合时，竖线前的代表元素非常关键，还有就是后面的描述也非常关键，一旦描述得不同，结果就有可能完全不同了，因此一定要认真读题，仔细分析。用描述法来表示集合不仅表达比较简洁，而且能把元素间的相互关系表达清楚，因此描述法是表示集合的一种重要方法。

3.自然语言法：顾名思义就是用自然语言来描述集合的一种方法。例如：我国从1992～2016年内所发射的所有人造卫星；重庆市酉阳第一中学校在2016年9月1日入学的所有高一学生；方程x2+y2+4x-6y+13=0的所有实数根；到直线l的距离等于定长d的所有点的集合等等。这些都是用自然语言表示集合的例子。用自然语言可以表示所有的集合。

4.图示法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。这样可以形象直观地表示集合，通常用于处理抽象集合间的相互关系。

5.常用数集及表示法：R：实数集；Q：有理数集；Z：整数集；N：自然数集（非负整数集）；N*正整数集；？准：空集；C：复数集。

一旦掌握了集合的定义和集合的表示方法后，关于集合概念的问题就会迎刃而解了，因此，我们在教学中应该多举形象生动的例子，让学生切实体会其中的深意。

参考文献：

[1]周焕山.集合的基本概况及其教学[J].江苏教育，1982.

[2]陈宏伟.怎样学好“集合”[J].中学生数理化，2006.