解决平面向量问题的“神器”

平面向量部分在教材别介绍了相关的坐标运算，这就给我们解决向量问题提供了一种思路――解析法.解析法是高中数学解析几何中最基本的方法.其思路是：通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，利用代数知识使问题得以解决.我们在解决一些与向量有关的问题（尤其是处理有关的小题）时，若适当考虑解析法，可使向量的运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使得向量的方法解决几何问题更加方便，从而极大提高解决问题的速度，降低问题的难度，达到事半功倍的目的.下面以近年来的高考试题中的向量小题为例，说明在具体问题中如何恰当地借助于解析法来解决相关问题.

一、利用解析法解决与向量有关的求值问题

例1（2005年全国卷Ⅰ理科）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH=m(OA+OB+OC)，则实数m=.

解析以AC所在的直线为x轴，以线段AC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设点A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，则由题意得点O、H的横坐标分别是0、s；于是向量OH的横坐标是s，向量OA+OB+OC的横坐标是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.

评注此题通过在平面图形中建立适当的坐标系及借助于向量的坐标运算，从而比较快速的得出结论，达到“小题小做”的目的.另外，在具体考试过程中本题也可考虑将题中的三角形特殊化为直角三角形，由此得出结论.

二、利用解析法解决与向量有关的最值问题

例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为 .

图1解析建立如图1所示的直角坐标系,设点P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，则B(1,b)、A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，当且仅当3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］时取得，因此|PA+3PB|的最小值为5.

评注在考虑向量的有关问题时，如果考虑通过建立直角坐标系的方式来解决问题，此时应当考虑如何建立适当的坐标系更有利于问题的解决，通常遵循的原则是：让尽可能多的点的坐标形式简单，且相关的动点的坐标便于表示.

三、利用解析法解决与平面图形的形状相关的问题

例3（2013年浙江理）设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB・PC≥P0B・P0C，则（）.

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD． AC=BC

解析以AB的中点O为原点建立直角坐标系，不妨设点A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，则有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB・PC≥P0B・P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0对任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，选D.

评注本题在处理时通过建立坐标系，从而将难于处理的向量数量积不等式恒成立问题转化为相关的代数不等式恒成立问题，由此确定图形的形状.

四、利用解析法解决与取值范围相关的问题

例4（2013年重庆理）在平面上，AB1AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|

A．(0,52］B．(52,72］

C．(52,2］D．(72 ,2］

解析依题意，以A为原点，直线AB1、AB2分别为x、y轴建立直角坐标系，设点B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，则(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|

评注从此题的条件来看，不难让人联想到通过建立直角坐标系来解决，只是应当注意结合题目条件建立适当的坐标系，把哪个点作为坐标原点更有利于问题的解决，同时在处理过程中还应当注意观察相关量间的关系，否则处理起来会走弯路.

向量作为一种数学工具，它用代数的方法处理几何问题，简便快捷；尤其是引入坐标系后，向量法与解析法联袂演绎，相辅相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代数方法处理几何问题，两者结合，强强联手，将数学题玩弄于股掌之中.从以上几个实例来看，要想通过借助于解析几何知识来处理向量的小题，真正做到小题小做的话，结合题目建立适当的坐标系是问题的关键，否则容易误入歧途，导致小题大做.

(收稿日期：2013-11-15)