寻求反例的思考方法

摘 要：近年来有一类新颖的试题，它列出若干个似真实假的命题，要求辨明真假，并对判断作出证明。解答这类试题实际上都归结为寻求反例。

关键词：寻求反例；二分法；题设数量关系讨论法

近年来，在国内外的一些数学考试和竞赛中，常常可以看到列出若干个似真实假的命题。要求辨明真假，并对判断作出证明。解答这类试题实际上都归结为寻求反例。

例如：下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则，举出反例。

命题1 若P、Q是直线L同侧的两个不同的点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q，且与直线L相切。

命题2 若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，则logab+logba≥2

命题3 设A、B是坐标平面上的两个点集，C1={（x，y）│x2+y2≤12}。若Cl∪A∈Cr∪B，则必有A∈B。

那么，怎样寻求反例呢？下面介绍几种寻求反例的思考方法。

一、二分法

所谓寻求反例，就是要找出满足题设又使题断不成立的情况。为此，应当把满足题设的所有情况恰当地进行分类，然后逐类进行考察，仔细判定题断在所考察的情况下是否成立。由此找出不成立的情况，便求得反例。这是寻求反例的一般思考方法，称为“分类考察法”。

一般的说，对满足题设的所有情况进行分类时，宜采用“二分法”。所谓二分法，就是把满足题设的所有情况分为两类，使其中一类具有某种属性，而另一类不具有这种属性。如果第一类情况能使题成立，则考察第二类情况。拿前面三个命题来说：

先看命题1。在题设条件下，P、Q两点与直线的位置关系可以分为两类：（1）过P、Q两点的直线与L相交；（2）过P、Q两点的直线与L平行。

容易发现在后一类情况下，即PQ∥L时，通过P、Q且与L相切的圆只有一个（如图1），于是便得到反例。

再看命题2。为了便于分析问题，利用对数换底公式，先将题断改写成logab+1/logab≥2，在题设条件下，logab的取值情况可以分为两类：（1）logab＞0；（2）logab＜0。

显然，在后一类情况下，恒有logab+1/logab＜0＜2，即logab

二、题设数量关系讨论法

有些似真实假的命题，其题设规定了某些数量关系或隐含着某些数量之间的关系，在这些数量满足题设关系的一部分情况下题断成立，而在这些数量满足题设关系的另一部分情况下题断不成立。因此，注意讨论题设的数量关系，往往能较简捷地发现反例，这种寻求反例的思考方法，称为“题设数量关系讨论法”。

例2 试求下列命题的反例：设ABC三边的长为a、b、c，若a+1/a=b+1/b=c+1/c，则ABC是正三角形。

分析依题设，a与b之间的关系为：

a+1/a=b+1/b?圳a2b+b=ab2+a?圳（a-b）（ab-1）=0?圳a=b或a=1/b

显然，当a=1/b时，便有a≠b，这时a、b满足题设而使题断不成立。于是容易举出反例：当a=c=2，b=1/2时，有a+1/a=b+1/b=c+1/c，但ABC不是正三角形。

（作者单位 福建省晋江市陈埭民族中学）