具视觉美学形态的Mandelbrot集合分形图案

[摘要] 分形图案具有极高的视觉美学形态。该文介绍了Mandelbrot集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。应用所发展的程序，分析不同幕次Mandelbrot集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。

[关键词] 分形图案 Mandelbrot集合 视觉美学

0 引言

分形几何（Fractal Geometry）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor集合、Koch曲线、Peano曲线及Sierpinski集合[1, 2]。到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(Complex Plane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot集合。该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar），亦即分形集合（Fractal Sets）的自相似性结构[1,2]。1982年，Mandelbrot在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern）[1-6]。

分形艺术图案在装饰艺术设计、广告设计、服装设计、陶瓷设计等设计领域中已有部份应用[7-14]。应用分形几何理论于艺术图案与纺织纹样设计，可以得到一些具有特殊的线条、图案与色彩的分形艺术图案。

1 复数平面上的Mandelbrot集合

在众多的分形模型中，复数平面分形系统所生成的分形图案具有令人心动的视觉美学形态。图1为由Mandelbrot集合进行迭代计算后所产生的图案，图案的形态表现出无限细分、重复对称与自相似的分形性质，具有极高的视觉美学形态。

图1 Mandelbrot集合分形图案

1.1 二次Mandelbrot集合

Mandelbrot集合的二次复数函数的数学表达式为 ，变量 与 都是复数形式，分别为 与 。其迭代过程写成 ，其中， 为第 次迭代后的复数值； 为定常复数，即 及 ，整理后可得 及 。

Mandelbrot集合中，复数 的值是控制复数函数在复数平面上迭代值，亦即在平面上以点 为函数的搜寻迭代点序列。因此，Mandelbrot集合的生成，是在迭代过程中给定初值 后，在复数平面上依复数 的实部与虚部相对应取值，范围分别为： （实部）及 （虚部）；再由 及 得到 。

Mandelbrot集合的迭代过程实际上是观察在复数平面上，定常复数 的对应原点（初值 ）是否会远离原点与远离原点的速度，可以用迭代点 与原点的模（距离）表示，即 。反复上述过程，可以得到一系列数集合，称为Mandelbrot集合。

以上说明了Mandelbrot集合的数集合产生过程，以不同的定常复数 进行迭代时，迭代点序列 可能发生两种情况：(1) 迭代点序列 自由地朝向无穷远的方向发散；(2) 迭代点序列 收敛到复数平面上一定的区域内。将这些数集合以电脑绘图案式显示，并以不同的色彩对应不同类型数集合的点，则可以得到Mandelbrot集合图案，称为逃逸时间演算法（Escape Time Algorithm）。

1.2 高次Mandelbrot集合

对于高次（如三、四至 次）复数函数 的Mandelbrot集合可表示如下：

三次Mandelbrot集合为 ，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为 及 。

四次Mandelbrot集合为 ，则在Mandelbrot集合的逃逸时间演算法中迭代式分别为 及 。

次Mandelbrot集合为 ，即 。显然，此式是一种复数 的迭代乘积，可以用一迭代演算法取代。

2 Mandelbrot集合分形图案生成的程序设计

根据上述Mandelbrot集合的迭代过程，本文发展Mandelbrot集合的逃逸时间算法的视窗程序。程序设计以Visual Basic 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。图2所示为视窗程序的Mandelbrot集合分形图案生成环境，设置集合控制参数的输入项目及三个按钮项目：(1)色差绘图；(2)大色差绘图；(3)结束程序。

图2 Mandelbrot集合分形图案生成程序界面

在色彩控制上采用色差控制和大色差控制两种方法。色彩控制实际上是依据逃逸时间算法的基本原理，由逃逸时间算法的结果决定绘图点的色彩。若以 , 及 分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的值（0～255），则 , 及 将是逃逸时间算法的最终迭代次数 的函数；当 不同时，绘图点的色彩也不相同。

本文提出色差控制方法，将不同逃逸时间的绘图点进行色彩差异增大。以 , 及 分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及 的色差控制分别为 , ， 。

大色差控制方法以 , 及 分别表示电脑色彩中的红、绿及蓝三主色彩的色差控制参数，则 , 及 的大色差控制分别为 , ， 。图3所示为在大色差控制方法调节时，当 , 及 时所产生的Mandelbrot集合分形图案，明显地，发散区域中不同的逃逸时间的绘图点显示出清晰的不同色彩层次，具有极高的视觉美学形态。

图3 大色差控制方法调节Mandelbrot集合分形图案