流体运动的几类模型

摘要 流体力学是一门重要的学科,描述流体运动通常有几种方法,本文主要介绍了描述流体运动常用的几种数学模型,分析了它们的原理,并讨论了它们的优缺点。

关键词 流体力学;连续介质;分子动力学;Boltzmann方程

中图分类号O19 文献标识码A 文章编号 1674-6708(2010)24-0134-01

流体力学是一门研究流体宏观运动的学科。虽然流体的微观运动在时间和空间上都非常复杂,具有不均匀性、离散型、随机性,但是流体的宏观运动一般总是呈现出均匀性,连续性,确定性。流体的宏观运动和其他性质是流体分子微观运动的平均结果。在连续介质假设基础上,流体的宏观运动可以用Navier-Stokes方程来描述,尽管连续介质是一种假设,但由于在很多情况下这一假设都可以成立。所以这种观点已经被流体力学广泛地采用,并获得了很大的成功;另一方面,近些年,人们提出从微观的角度来理解宏观流体力学的概念和现象,能够深刻地揭示宏观现象的本质,对于更好的认识这些现象具有重要的意义。

本文着重介绍下通常研究流体力学的几种数学模型,分析一下它们的理论及优劣。

首先,我们先来看大家所熟悉的流体运动的连续模型,在这里,流体可以看作是充满整个流场的连续介质,可以在流场中的每一个空间点定义留意的密度、速度、温度,压力等物理量,并建立一系列的偏微分方程来描述流体的运动。连续介质假设是流体力学中的一个基本假设,是对流体结构的一种近似,当研究对象的尺度比粒子结构尺度大得多时,这一假设就成立,这一假设对于日常生活和工程中的绝大多数情况是合理的,依赖于这一假设,研究获得了很大的成功,比如飞机在空气中的运动,轮船在水中的运动,由于其特征尺度远大于粒子的结构尺度,所以,空气和水都可以被认为是连续介质,但是对于一些特殊情况,比如血液在动脉中的运动,高空稀薄气体中物体的运动时,就不能当做连续介质。此外由于描述此运动的Navier-Stokes方程的复杂性,除了少数非常简单的情况,一般情况是得不到方程的解析解,所以,以传统的解方程的方法来解决流体问题暂时是行不通的,所以利用计算机利用数值方法找近似解是常见的方法,这就是计算流体力学,随着计算机技术和相关数学的发展,计算流体力学的应用也越来越广泛,现在很多工业部门及研究单位,这是采用得比较普遍的一种方法,而且随着计算机的发展,相应的也出现了很多应用软件,可以这样说,以往通过理论和实验解决不了流体的问题,现在很大程度上可以通过计算机去解决。

其次,我们再来了解下从微观方面来描述流体运动的分子动力学模型,因为从物理上来说,流体是由分子构成的,流体的宏观运动时微观分子热运动的平均结果,如果我们知道了分子的微观运动,通过统计平均这种方法就可以得到流体的宏观物理量。分子动力学模型可以是确定性的,也可以是随机性的。在分子动力学模型中,分子遵循经典的牛顿运动方程,所以,通过求解方程就可以确定任意分子在任意时刻的速度和位置。由于分子动力学模拟是基于分子最基本的运动规律,所以原则上可以模拟任意流体系统。利用计算机对这种模型进行模拟是其一个重要的特点,由于计算机的飞速发展,这种模型也得到了很大的发展,它也应用于物理、生物、化学等各个学科上,虽然分子动力学模拟方法有这样的优点,但由于在模拟过程中,对一个流体系统而言,其分子的数量非常巨大,而且在每一个步长中,每个分子的新位置和新速度都要重新计算,所以这需要很大的计算量和存储量,因此,这种模型现在只能用于二维运动,对于三维复杂流动进行模拟几乎是不可能的,它的进一步发展及推广决定于计算机的发展。

第三,类模型是从介观的角度来描述流体,称为气体动理论。而此时我们用Boltzmann方程来描述流体,这个方程是统计力学中描述非平衡态分布函数演化规律的方程,这个方程的基本想法是不去确定每个分子的运动状态,而是求出每一个分子处在某一状态下的概率,通过统计方法得到系统的宏观参数,Boltzmann方程是基于二体碰撞,分子混沌性假设及没有外力的影响而得到的,但这个方程也是一个非常复杂的积分微分方程,所以直接求解也不可能。因此,人们提出了很多的简化的模型,比如对碰撞算子做一些近似,如著名的BGK模型,这个近似使得碰撞算子线性化,从而简化方程,利用这个模型来求解流体的宏观物理量的方法我们称为格子Boltzmann方法,实际上,格子Boltzmann方程可以看做是连续的Boltzmann的方程的一种特殊的离散格式,在格子方法中,流体被抽象为大量的微观粒子,并且根据一些简单的方式在规则的格子上碰撞和迁移,通过粒子运动进行统计,就可以得到流体的宏观特性。从离散的网格说,这种方法具有Euler方法的特性,从离散的粒子来说,这种说法又有Langrange方法的特性,而且,格子方法还具有一些常规数值方法所没有的优点,如物理图像清晰,边界条件处理简单,程序易于实施,计算具有并行性,所以,从格子Boltzmann方法刚诞生起,就引起了物理学家,数学家,计算机学家和其他领域的科学家的关注,现在它被认为是最有前途的数值模拟方法之一。格子Boltzmann方法除了在一般的流体力学中有比较好的应用外,在多相流、渗流、粒子悬浮流等相关领域也得到了相关的应用,所以,也必将成为大家研究的热点。

参考文献

[1]何雅玲,王勇,李庆.格子方法的理论及应用.科学出版 社.

[2]郭照立,郑楚光,李青,王能超.流体动力学的格子 Boltzmann方法.湖北科学技术出版社.