巧用微元法求解电磁感应问题的几类模型

摘 要： 微元法是高中物理教学中一种重要的思维方法。本文结合电磁感应问题中的几类模型，利用微元法的思想有效快速地解决了问题，并收到了良好的教学效果。在教学中进行“微元法”的训练，能提高学生思维能力和分析解决问题的能力。

关键词： 微元法 电磁感应 模型

在高中物理中，由于数学知识学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些问题，在高中很难加以解决，成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好地解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，这个方法充分体现了积分的思想。本文结合电磁感应中的几种疑难问题，对微元法的灵活应用加以分析说明。

一、“切割类”模型

导体切割磁感线是高中物理常见的产生感应电动势的基本模型之一，我们将这种模型简称为“切割类”模型。直线切割比较简单，但对于不规则形状的切割可以利用微元法来求解。具体如下例：

例1：如图1所示，AB是半径为R的半圆形金属导体，当AB以v水平向右运动时，求AB两端的感应电动势多大？

解析：高中生利用法拉第电磁感应定律可以推导出直线切割时的感应电动势为：E=BLV，但是对于不规则导体切割磁感线的情况则感到束手无策。此时不妨利用微元法，将金属导体AB分为无数条小段，如下图2所示：

在图2中选取任意一小段导体L，将其无限放大后如图3所示，由于导体L本身比较短，可以将导体L等效为直线，则导体L可以正交分解为水平分量Lx和竖直分量Ly，水平分量Lx不会切割磁感线，竖直分量Ly切割磁感线产生的感应电动势大小为EL=BLyV，以此类推，每一小段导体切割的感应电动势都可以按照正交分解的办法，所有竖直分量叠加起来即为大导体AB的直径2R，故导体AB产生的感应电动势大小为：E=B2RV=2BRV.

二、“插入类”模型

当条形磁铁插入或者拔出闭合金属环时，金属环内会产生感应电流，电流方向可以用楞次定律判定。但是利用微元法可以解释金属环的运动趋势，有利于更加深刻地理解楞次定律中的“阻碍”的含义。

例2：如图4所示，水平桌面上放一闭合铝环，在铝环轴线上方有一条形磁铁，当条形磁铁沿轴线竖直向下迅速靠近铝环时，铝环对桌面的压力如何变化？

解析：当条形磁铁S极靠近铝环时，穿过铝环磁感线斜向上且磁通量增加，根据楞次定律判定铝环中感应电流方向沿顺时针方向（俯视观察）。将有感应电流通过的铝环分成许多微元段，根据左手定则分析铝环上各直径两端对称微元段所受安培力，受力如图5所示，可知各微元段所受安培力斜向下指向内侧，将各个微元的安培力分解到水平方向和竖直方向，则发现每段微元受到的安培力竖直分量均向下，则条形磁铁向下靠近时，磁感应强度增大，铝环对桌面压力增大。同时可以看出，铝环受的安培力水平分量均指向圆心，则铝环有收缩趋势。

三、“互感类”模型

相互靠近的导线通电时，相互之间有没有力的作用呢？给螺线管通电的瞬间，螺线管会发生什么样的变化呢？这类问题归根结底还是电磁感应和安培力知识的结合，但是直接从正面求解难以下手，也比较难得出结论。如果利用微元法，以小见大，就可以清楚地说明问题。具体见例3。

例3：如图6所示，长为L的通电螺线管通以如图所示的电流时，螺线管的长度有没有微小变化？若有，那螺线管是变长还是变短呢？

解析：面对这样的问题，许多同学不知道如何下手。其实很多同学对于两根直线电流的情况能自主分析，而对于一个“庞大”的螺线管就不知道怎么处理了。高中阶段我们利用微元法的思想，将螺线管相邻两匝对应部分分成无数段非常小的直线电流，如图7所示，则这两段相邻的直线电流为两条相互平行的同向直线电流，对于相互平行的同向直线电流之间的相互作用力分析如图8所示。

直导线A在其下半部分区域产生的磁场如图所示（竖直截面图），则由左手定则可以判定导线B所受的安培力方向向上。同样的道理，导线A所受的安培力竖直向下。两条相互平行的同向直线电流之间具有相互吸引的作用力。这两条导线A、B有相互靠近的趋势。那么，对于一个通直流电的螺线管，可以视为是无数个相互平行同向直线电流小微元组合起来的，相邻两匝之间也会相互吸引。所以，本题中通电螺线管通以如图所示的电流时，螺线管的长度有会因为相互吸引而变短。

以上几个例子仅仅从电磁感应模块的几个疑难问题方面讲述了微元法的巧妙用处。高中物理中利用微元法解题的知识点非常多。例如求变力做功问题、求不规则物体间的万有引力等都可以利用微元法求解。

四、总结

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理问题用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

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