“方程(组)与不等式(组)”易错剖析

方程与不等式是初中数学的基础知识，是解决其他问题的工具，也是历年中考的考点.现把有关方程与不等式的常见错误归纳如下，供同学们复习时参考.

一、 有关解一元一次方程常见的错误

1. 去分母时容易漏乘和忽略分数线的“括号”作用

【评析】去分母时，方程两边都应该乘以各分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项，另外，分数线除了代替“÷”外，还具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，去分母后，应用括号括起来.

正解：去分母，得3（x+2）-（2x-3）=12.（以下略）

2. 去括号时容易漏乘和符号错误

例2 解方程：5x-2（8-x）=6x-3（4-x）.

错解：去括号，得5x-16-x=6x-12-x.

移项、合并同类项，得-x=4.

系数化为1，得x=-4.

【评析】此题有两点错误：① 一个数与多项式相乘时，去括号时漏乘了多项式的某些项；② 括号前面是负号，去括号时括号内的有些项的符号没有改变.

正解：去括号，得5x-16+2x=6x-12+3x.（以下略）

二、 有关解一元二次方程常见的错误

1. 忽视一元二次方程二次项系数a≠0的条件

例3 若方程（m-1）xm2+1-2mx+1=0是关于x的一元二次方程，求m的值.

错解：由题意得m2+1=2，可得m2=1，所以m=±1.

【评析】本题考查了一元二次方程的概念，这种解法忽视了一元二次方程二次项系数不等于零这一隐含条件.

正解：由题意得m2+1=2，可得m2=1，所以m=±1. 而当m=1时，二次项系数m-1=0，原方程就不是一元二次方程；当m=-1时，二次项系数m-1=-2≠0，原方程是一元二次方程，故m的值为-1.

2. 化简过程中在方程两边同时除以含未知数的项，造成失根

例4 解方程（x+1）2=6（x+1）.

错解：方程两边同时除以x+1，得x+1=6，所以x=5.

【评析】上述解法因为没有考虑x+1=0的情形，而造成了丢根.

正解：原方程可变形为：（x+1）2-6（x+1）=0，（x+1）（x+1-6）=0，即（x+1）（x-5）=0，x+1=0或x-5=0，所以，x1=-1，x2=5.

3. 运用公式法时要将方程转化为一般形式且要注意a、b、c的符号

例5 解方程x2-3x=1.

错解：原方程可变形为：x（x-2）-（x+1）（x-2）=3，解这个整式方程，得x=-1，故原方程的解为：x=-1.

【评析】此解法错在没有验根，由等式的性质二可知等式两边只能同乘一个不等于零的数或整式，若此整式为零，即为分式方程的增根，必须舍去.

正解：原方程可变形为：x（x-2）-（x+1）（x-2）=3，解这个整式方程，得x=-1. 当x=-1时，（x+1）（x-2）=0，所以x=-1是原分式方程的增根，故原分式方程无解.

2. 去分母时漏乘不含分母的项

正解：原方程可变形为：4（x+1）+x2=2x（x+1）.（以下略）

四、 有关不等式（组）中常见的错误

1. 不等式两边同除以一个负数时，忘记改变不等号的方向

例8 解不等式：5x-12≤2（4x-3）.

错解：去括号，得5x-12≤8x-6，移项、合并同类项，得-3x≤6，两边同除以-3，得x≤-2.

【评析】解一元一次不等式与解一元一次方程类似，所不同的是不等式两边都乘（或除以）一个负数时，不等号的方向要改变，这正是本题解法的错误所在.

正解：去括号，得5x-12≤8x-6，移项、合并同类项，得-3x≤6，两边同除以-3，得x≥-2.

2. 求含字母的取值范围的不等式组问题时，在端点的取舍上容易搞错

例9 已知关于x的不等式组x-a≥0，5-2x>1只有4个整数解，则实数a的取值范围是_______.

错解：解关于x的不等式组，易得a≤x

【评析】此类问题是不等式中很容易出错的一种题型，我们可以借助数轴，利用数形结合的思想加以解决.

正解：解关于x的不等式组，易得a≤x