特例法 第4期

2000年高考数学题(广东省卷,A类)第11小题:

过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p,q.则 等于

(A) 2a(B)(C)4a (D)

解法一:由y=ax2得抛物线的标准方程是x2=,则焦点坐标F(0 , ),设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程是:y=kx+ .

解方程组 消去参数y得ax2=kx+ (a>0),

整理得:4a2x2－4akx－1=0

由韦达定理得:x1+x2= ,x1x2=

故选(C).

此法思维直接,入手容易,但解题过程曲折,运算繁杂,至少要化十分钟时间.在高考中,解一道选择题化了十分钟,在整卷时间分配上,超时告负,那么能否找到更简便而有效的方法呢?首先,观察此题有一个重要特征是四个答案都有含有参数a.显然,结论与a的有效值无关,故a可选取特殊值进入运算,达到化繁为简的目的.类似地,抛物线的焦点弦(过焦点与抛物线相交的两点间线段)中,通径长最短,(人教版《解析几何》P105第5题)且位置最特殊,选取线段PQ在特殊位置处,使问题变得更简洁.事实上,

当且仅当α=0°时 取得最小值

解法二:取a=2代入方程得抛物线的标准方程是:

x2= y

焦点F(0,),直线PQ∥x轴,它的方程是y= ,

代入抛物线方程得:

x2=

x1，2= ,

又由抛物线的对称性得 ,

故选(C)

显然,相比之下,法二中以数字运算为主,难度降底了很多,学生容易掌握,并在考试中争取宝贵时间,战略上使自己占据了有利地位..

而参数的特殊值的选取也有学问,例如,在本题中,如果令a=1,则答案中C,D相同,不能确定最终结果;但如果取a= ,则答案中A,B相同,它们都不影响选取正确选项.所以,对特例法中的参数选取要使得四个被选答案各异,否则会白费功夫.

在解单项选择题中,我们可用取特殊值或特殖图形的办法进行检验,判明答案真伪,这种方法叫特例法.

特例法的使用条件是:命题中的参数或变量在某个给定的范围内适用,且参数或变量取某个有效值时不影响命题的结论.

在这次高考卷中,还可以找到其他题目,也是使用特例法求解的.

如选择题第4小题:

已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是:

A. 若α, β是第一象限角,则cosα>cosβ

B. 若α, β是第二象限角,则tgα>tgβ

C. 若α, β是第三象限角,则cosα>cosβ

D. 若α, β是第四象限角.则tgα>tgβ

解:在A中,取α=60°,β=30°代入得:cos60°= < =cos30°.结论不成立

在B中,取α=180°-60°,β=180°-30°代入得tg(180°-60°)=-tg60°=

tg(180°-30°)=-tg30°=

tgα

在C中，取α=180°+30°，β=180°+60°代入得: cos(180°+30°)=-cos30°=- ,结论不成立

选D.事实上,本题还可用两个三函数的图象求解.

又选择题第7小题:若a>b>1,, ,

A ,R

解:此题直接用几何平均数不大于算术平均数求解较为简便,但由于题目适全特例法.故用特例法求解.

取a=100,b=10代入得Q= =1.5,R= ,P=

显然选B.

在同一份高考卷中,出现两次(或三次)特例法的考核,那么这种解题方法应引起师生们在高考应考时足够重视,能快捷选用方法，准确地选择答案.同时,这种方法的学习,也是给学生灌输特殊性与普遍性的辩证统一思想的一个有效途径,全面提高学生素质的一种方法.

在99年高考数学题中(广东卷A类)第11小题:

若sinα>tgα>ctgα,( ), 则α∈

A B C D

解:选取α= ,则 ,tg , 淘汰A

若选 , , ctg .则选B.

由上可知,特例法就是运用特殊的数值,特殊的图形或图形中某些特殊元素耒确定某些结论,从而缩小范围,最后获得正确答案的方法.因此,它是筛选法的一种特殊形式.此法仅适用于单项选择题,由于寻找的是特例,因而运算简捷,推理方便.这样的题目,能体现学生的观察能力,应推广使用.

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