带电粒子“滚钱币”的动态圆模型

带电粒子在磁场中的运动问题中，有一类“滚钱币”动态圆模型，以下是对这种模型的分析和拓展.

“滚钱币”动态圆模型：如图1所示，一束带负电的粒子（不计重力）以初速度[v]垂直进入匀强磁场，若初速度[v]大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同. 其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹. 使用时应注意各圆的绕向.

[× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×]

图1

拓展一 在矩形磁场中考查“滚钱币”模型

例1 如图2所示，在[0≤x≤b]、[0≤y≤a]的长方形区域中有一磁感应强度大小为[B]的匀强磁场，磁场的方向垂直于[xOy]平面向外. [O]处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为[m]、电荷量为[q]的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在[xOy]平面内的第一象限内. 己知粒子在磁场中做圆周运动的周期为[T]，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为[T12]，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为[T4]. 不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（ ）

[・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・]

图2

A.粒子射入磁场的速度大小[v=2qBam]

B.粒子圆周运动的半径[r=2a]

C.长方形区域的边长满足关系[ba=3+1]

D.长方形区域的边长满足关系[ba=2]

解析 设粒子的速度大小为[v]，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由磁场对粒子的洛伦兹力提供，则[qvB=mv2r]，解得[v=qBrm]

粒子在匀强磁场中的运动时间为[t=sv]

由于各个粒子的电量、质量和粒子的速度的大小都相同，所以各个粒子在磁场中的轨道半径的大小为定值，粒子在磁场中所对应的轨迹的弧长越长，运动时间越长；粒子在磁场中所对应的轨迹的弧长越短，运动时间越短.

[・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・][・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・]

图3

假设匀强磁场充满整个空间，如图3所示画出粒子在磁场中的轨迹，由图4可知，沿着[y]轴正方向的粒子最先从磁场上边界中飞出，设该粒子在磁场中的轨迹所对的圆心角为[θ1]，由题意得[θ1360°T=T12]，解得[θ1=300].

[・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・][・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・]

图4

由几何关系，可得[rsin300=a]

可解得[r=2a]、[v=2qBam]，选项A、B正确；

如图5所示，当粒子的运动轨迹和磁场的上边界相切时，粒子在磁场中运动轨迹所对应的弧长最长，运动时间最长. 设该种情况下粒子的轨迹所对应的圆心角为[θ2]，则[θ2360°T=T4]，解得[θ2=900]. 设[∠MO2O=θ3]、[∠MO2d=θ4]，则[θ3+θ4=900]. 由几何关系，有[rcosθ3=r-a]

[・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・] [・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・]

图5

即[2acosθ3=2a-a=a]，则[θ3=600]、[θ4=300]

由几何关系进一步可得[b=rsinθ3+rsinθ4]

即[b=2asin600+2asin300=3a+a]

所以长方形区域的边长满足关系[ba=3+1]，选项C正确，D错误. 综合上面分析，本题答案选ABC.

拓展二 在圆形磁场中考查“滚钱币”模型

例2 如图6所示，半径为[r]的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为[B]，磁场边界上[A]点一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为[k]，速度大小为[2kBr]. 则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）

[× × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × ×]

图6

A. [πkB] B. [π2kB] C. [π3kB] D. [π4kB]

解析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由粒子受到的洛伦兹力提供，有[qBv0=mv20R]

解得[R=mv0qB=2r]

[× × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × ×] [× × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × ×]

图7 图8

假设匀强磁场充满整个空间，如图7所示画出粒子的运动轨迹，由[t=sv0]，可得粒子的轨迹在匀强磁场中的部分对应的弧越长，运动时间越长；粒子的轨迹在匀强磁场中的部分对应的弧越短，运动时间越短，如图8所示，当粒子的轨迹经过[A]点、[C]点（[AC]是磁场区域圆的直径）粒子在磁场中运动的时间最长.

设此时粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为[θ]，则[2Rsinθ2=AC]，有[4rsinθ2=2r]

进一步可得[θ=600]，则粒子在磁场中运动的最长时间为

[tmax=6003600T=16×2πmqB=][π3kB]，答案C正确.

拓展三 在角边界磁场中考查“滚钱币”模型

例3 如图9所示，成[300]角的[OA]、[OB]间有一垂直纸面向里的匀强磁场，[OA]边界上的[S]点有一电子源，在纸面内向各个方向均匀发射速率相同的电子，电子在磁场中运动的半径为[r]，周期为[T]. 已知从[OB]边界射出的电子在磁场中运动的最短时间为[T6]，则（ ）

[× × × ×

× × × ×

× × ×

× × ×

× ×

× ×

×]

图9

A. 沿某一方向发射的电子，可能从[O]点射出

B. 沿某一方向发射的电子，可能沿垂直于[OB]的方向射出

C. 从[OA]边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为[T3]

D. 从[OB]边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为[T4]

解析 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由电子受到的洛伦兹力提供，有[qBv0=mv20r]

解得[r=mv0qB]

假设匀强磁场充满整个空间，如图10所示画出电子的运动轨迹，沿某一方向发射的电子，不可能从[O]点射出，选项A错误；

[× × × ×

× × × ×

× × ×

× × ×

× ×

× ×

×]

图10

由[t=sv0]可得：电子的轨迹在匀强磁场中的部分对应的弧越长，运动时间越长；电子的轨迹在匀强磁场中的部分对应的弧越短，运动时间越短，所以当电子的轨迹经过[OB]边界上的[C]时对应的从[OB]边界射出的电子在磁场中的时间最短，此时[SC]垂直于[OB]（[SC]的长度是[S]点到[OB]边界的最短距离，是粒子在磁场中的轨迹对应的最短的弦），由几何关系可得，[SC=SOsin300=12SO]，设此时粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为[θ]，则[2rsinθ2=SC].

由于已知从[OB]边界射出的电子在磁场中运动的最短时间为[T6]，则[T6=θ2πT]，解得[θ=π3]，可得[SC=r]、[SO=2r].

如图11所示，当电子的运动轨迹和[OB]边界相切于[D]时，从[OA]边界射出的电子在磁场中运动的时间最长，设此时电子的轨迹圆对应的圆心为[O1]，则[O1D]垂直于[OB]且[O1D=r]，又由于[SC]垂直于[OB]且[SC=r]，即[O1D]和[SC]平行且相等，所以四边形[O1DCS]是矩形，可得[∠O1SO=300]，连接[O1G]，则[O1G=r]

三角形[O1SO]为等腰三角形，[∠SO1O=1200]，此种情况下电子在磁场中运动的时间为[t=12003600T=13T]，选项C正确；如图12所示当电子的轨迹的圆心为[C]点时，电子沿垂直于[OB]的方向射出，选项B正确；

[× × × ×

× × × ×

× × ×

× × ×

× ×

× ×

×] [× × × ×

× × × ×

× × ×

× × ×

× ×

× ×

×]

图11 图12

如图12所示，当沿着[SA]方向射出的粒子从[OB]边界上[E]点射出时，电子在磁场中运动的时间最长.

从[S]作[OA]的垂线[SM]交[OB]于[M]点，由几何关系可得[SM=OStan30°=233r>r]，则此种情况下轨迹的圆心[O2]在[SM]上，且在[M]点的左侧，由几何关系可得

[∠SME=120°]，[∠SO2E=θ1>120°]

从[OA]边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为[t1=θ1360°>T3]，选项D错误. 综合上面分析，本题答案选BC.