源于课本 根植高考 高于课本 引导高考

在每年的高考复习备考过程中，一线高三教师都非常重视全国各地往年的高考试题，因为这些题目既是非常典型的例题和练习，同时又能为高考复习备考指明方向.近日，笔者在2013年的备考复习中，选取2012年高考天津理科19题：

设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为-12，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>3.

这道题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.重点考查用代数方法研究圆锥曲线的性质、以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力，是一道“源于课本，根植高考，高于课本，引导高考”的好题.

1.源于课本，高于课本

高考数学试题不少是课本上题目的直接引用或稍做变形而得来，如该题是由新课标教材中的例题和练习改编而成的.

普通高中课程标准试验教科书数学《选修2-1》（北师大版）第三章 “圆锥曲线与方程”第1节（P68）中习题3-1 组第8题，原题如下：

ABC两个顶点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AB，BC所在直线的斜率之积等于-49.求顶点C的轨迹方程，并画出草图.

这种通过对课本例题和练习的挖掘、变式编制成的高考题，让考生有似曾相识之感，缓解了考场上的紧张情绪，拉近了学生与试题间的距离，感受到平时课本上学的内容与考试内容相匹配，但该题与课本练习相比，增加了一问，所以总体能力要求有所提高.真正体现高考题是“源于课本，高于课本”.

2.根植高考，稳中有变

该题根植于2010年高考数学北京卷理科第19题：

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-13.

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

该题还根植于2003年高考上海春数学21题：

设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+8y2b2=1（a>b>0）的左、右两个焦点.

（1）、（2）略；

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

通过比较发现：首先，该题与以上两题都是由动点与两定点形成直线的斜率之积等于常数，命题出发点基本相同，考查知识点也几乎相同，实则如出一辙；其次，该题与2010年北京卷理科第19题相比，第（2）问完全不同；与2003年上海春数学21题相比，设问内容和方式也有不同.

3.引导高考，意义深远

走在新课改前沿的天津，2012年高考数学第19题的选材动向，相信能给我们一线教师今后的数学教学和高三复习备考带来一定的启示.

3.1重视课本

高中数学课本是以《中学数学课程标准》为依据，吸取了几十年来教材改革的成果、教学改革的经验，集中了数学家、数学教育家、数学教师以及教研人员的智慧而编写出来的.课本是我们教学的范本，其中每一个例题、习题都是编者智慧的结晶.

在平时的教学中，关注基础，用好课本，因为课本中例题都是很有典型性和代表性，练习的安排也是很有针对性，所以应当发挥它的示范作用，用活课本中的例题和习题，必要时还应对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展.

在高三复习过程中，重视钻研课本，注重课本知识的理解、整理、归纳、积累，通过对例题和练习的变式、引申和推广，充分挖掘课本例题和习题的潜在功能，让学生学会一道题，掌握一类题，是高考复习备考的捷径之一.该题对于高三复习的意义在于要把重视教材、回归教材真正落到实处.

3.2研究考纲

《考试大纲》是高中数学教学的纲领性和指导性文件，是高考命题的重要依据，也是学生备考和教师指导学生复习的重要依据，已成为命题人员、教师和考生共同遵守的一种信约.

在备考复习过程中我们必须认真研读《考试大纲》，掌握“贴近生活、背景公平、控制难度”原则，领会“立足书本，高于课本”的命题要求，对课本中典型的例题和习题在教学设计上要不拘一格，可以一题多解、一题多变、一题多用等.这样做有助于激发学生的思维灵感，增强学生的解题能力，培养学生的创新意识，达到举一反三、触类旁通之效，起到了事半功倍的作用，同时把教师和学生从茫茫题海中解脱出来，真正减轻学生负担.而那种抛开考纲，远离课本，一味搞题海战术的做法其实是一种舍本逐末的学习行为.

3.3反思考题

在平时教学和高三备考复习中应借鉴以往的经验，分析反思近几年的高考试题，加强试题研究.一方面，要对全国各省市试卷中相同知识领域的试题进行横向比较，找差别、找共性、找联系、找特点；另一方面，还要对本省市近三年的高考数学试题主干知识进行纵向对比，找趋势、找方向、找规律，这样可以明确本省市高考试题的重点、难点、热点、冷点，这样复习的目标更明确，针对性更强.

如该题源于课本练习，无独有偶的是，2011年高考数学陕西卷文、理科都有解答题“叙述并证明余弦定理”，这甚至可以说是课本中的原题；2012年高考数学陕西又有证明三垂线定理，这也可以说是课本中例题.这些是巧合，还是命题趋势？值得我们深思……

3.4注重能力

数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意（1999 年首次提出“能力立意”；2004 年《考试大纲》对“能力立意”给出定义；2005 年《考试大纲》对“思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力、创新意识”五种能力做出进一步界定和解释）命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养.

总之，随着新课程改革的不断推进，对高考命题也提出了更高的要求，要求试题在创新求活的同时，更能全面考查学生的数学素养，数学素养的重要组成部分是数学能力.数学源于生活，生活丰富了课本，课本是考试内容的具体化，是中、低档题目的直接来源，是解题能力的生长点.只有重视课本、研究考纲、反思考题，才能系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，全面提高学生能力，适应数学高考的发展.