基于违约损失率变化的CreditRisk+模型的一种修正

摘 要:本文在基于行业特性的多元系统风险因子CreditRisk+模型的基础上,对CreditRisk+模型违约损失率假定为一常数这一缺陷进行了修正,提出了一种综合考虑违约损失率变化和行业风险因子相关性的计量贷款组合非预期损失的新方法。该方法进一步提高了计算贷款组合非预期损失的精度。在此基础上,采用鞍点逼近算法进行了算例分析。

关键词:CreditRisk+模型;违约损失率;违约相关性;鞍点逼近;非预期损失

中图分类号:F830.33 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2009)06-0048-05

An Amendment to the CreditRisk+ Model Based on the Variation of Loss Given Default

PENG Jian-gang, LU Zhi-hua

(Research Center of Financial Management, Hunan University, Changsha 410079, China)

Abstract:On the basis of multi-systematic risk factors CreditRisk+ model based on sector character, this paper amended the drawback which the loss given default was assumed to be a constant in the CreditRisk+ model, and proposed a new method to calculate the unexpected loss of loan portfolio, which comprehensively considered the variation of loss given default and the correlation of the sector risk factors. We can enhance accuracy when calculating unexpected loss of loan portfolio by this method. In this paper, a practical example was offered to analyze the feasibility of the new method by making use of saddlepoint approximation algorithm.

Key words:CreditRisk+ model; loss given default; default correlation; saddlepoint approximation; unexpected loss

1 引言

CreditRisk+模型是由瑞士信贷第一波士顿(CSFB)于1997年推出的信用风险度量及组合管理模型[1]。该模型由于所需的数据量较少和给出了贷款组合违约损失分布显式解等优点,一经推出就受到业界和理论界的广泛关注。然而,CreditRisk+模型自身存在着不足。

假定行业风险因子之间相互独立是CreditRisk+模型存在的一个明显不足。在现实生活中,不同行业之间由于受到宏观经济变量等因素的共同作用,它们之间存在一定的相关性,如果假设它们之间相互独立,就会低估贷款组合的风险水平。Burgisser等首次对CreditRisk+模型行业风险因子之间的相关性进行了研究,提出了单因子模型[2]。在单因子模型中,在已知行业风险因子协方差矩阵的前提下,通过加权平均的方法,求出贷款组合的相对违约方差。再假设各笔贷款的违约概率都只受一个共同系统风险因子的影响,该系统风险因子服从均值为1,方差即为相对违约方差的Gamma分布。在此基础上,计算出贷款组合的违约损失分布。然而,该模型存在明显的不足,即在一组特定的数据下,使用该模型计算出来的一定置信水平下的VaR值甚至比相同置信水平下原CreditRisk+计算出来的结果还要小。Giese在注意到单因子模型不足的情况下,对CreditRisk+模型行业风险因子之间的相关性进行了研究,提出了复合Gamma CreditRisk+模型[3]。然而该模型要求任意两个行业风险因子之间的协方差都相等,这与现实情况仍存在一定的差距。本课题组在复合Gamma CreditRisk+模型的基础上,引入多元系统风险因子,将各行业风险因子的形参数分别表示成系统风险因子的线性组合与一反映该行业特性的参数之积,在此基础上提出了基于行业特性的多元系统风险因子CreditRisk+模型[4](简称多元系统风险因子模型)。该模型能将一般性的行业风险因子协方差矩阵纳入模型框架,克服了复合Gamma CreditRisk+模型要求任意两个行业风险因子之间的协方差必须都相等这一缺陷,对原CreditRisk+模型行业风险因子相关性进行了质的修正。

违约损失率假定为一常数是CreditRisk+模型存在的另一不足。在现实生活中,由于宏观经济、抵押品价值等因素的变动,通常会引起债务人违约损失率的变化。不考虑债务人抵押品价值等因素的变动状况,用一个常数去估计债务人的违约损失率,通常会导致对贷款组合非预期损失计量的不准确。Burgisser等在单因子模型的基础上,对CreditRisk+模型违约损失率保持不变这一局限性进行了研究[5]。Burgisser等假定债务人违约概率的变化和违约损失率的变化是相互独立的,对违约损失率采用与单因子模型中对违约概率变动类似的处理方式进行处理,在此基础上,计算出贷款组合违约损失分布的方差。然后采用单因子模型计算出贷款组合的违约损失概率生成函数,进而应用Panjer算法计算出贷款组合在一定置信水平下所对应的非预期损失。然而,由于单因子模型和Panjer算法的缺陷,导致使用该模型计算出来的结果仍然存在较大误差。蔡风景等在原CreditRisk+模型的基础上,假设债务人的违约损失率服从Beta分布,对CreditRisk+模型违约损失率变化的情形进行处理,并用鞍点逼近算法进行求解[6]。然而正如上文所指出的那样,原CreditRisk+模型假定行业风险因子之间相互独立,并没有考虑它们之间的相关性,导致蔡风景等提出的方法仍存在缺陷。本文试图在考虑行业风险因子相关性的基础上,将可变的违约损失率运用于CreditRisk+模型。

本文在本课题组提出的基于行业特性的多元系统风险因子CreditRisk+模型和运用CreditRisk+模型测算我国商业银行贷款组合非预期损失方法论[7]的基础上,借鉴蔡风景等的处理方法,对CreditRisk+模型违约损失率假定为一常数这一缺陷进行修正,提出了一种计量贷款组合非预期损失的新方法。该方法深入考虑了贷款组合行业风险因子之间的相关性和债务人违约损失率的变化情况,对原CreditRisk+模型作了进一步的发展,提高了运用CreditRisk+模型计量贷款组合非预期损失的精度。

2 新方法的提出

2.1 违约损失概率生成函数的计算

在原CreditRisk+模型技术文档中,对于某一债务人A,由于受到行业风险因子γ=(γ1,γ2,…,γK)的影响,其违约概率可以表示成

pA(γ)=pA∑Kk=1gAkγk(1)

其中pA为债务人A的无条件违约概率,gAk≥0且∑Kk=1gAk=1。

将债务人A的风险暴露记为vA,违约损失率记为εA,则债务人A的违约损失概率生成函数可以表示成

GA(z|γ,εA)=1-pA(γ)+pA(γ)zvAεA(2)

2.1.1 对违约损失率变化的处理

在原CreditRisk+模型技术文档中,债务人的违约损失率假定为一常数,保持不变。为了对这一局限性进行修正,本文借鉴蔡风景等对违约损失率的处理方法,假设债务人的违约损失率服从Beta分布,则由(2)式可知

GA(z|γ)=∫10(1-pA(γ)+pA(γ)zvAx)faA,bA(x)dx

=1-pA(γ)+pA(γ)•∫10zvAx•Γ(aA+bA)Γ(aA)•Γ(bA)•xaA-1•(1-x)bA-1dx(3)

其中faA,bA(x)为债务人A违约损失率εA的概率密度函数。

而zvAx=evAxlnz=∑∞n=0(vAxlnz)nn!(4)

所以

GA(z|γ)=1-pA(γ)+pA(γ)•∫10∑∞n=0(vAxlnz)nn!•

Γ(aA+bA)Γ(aA)•Γ(bA)•xaA-1•(1-x)bA-1dx

=1-pA(γ)+pA(γ)[1+∑∞n=1(∏n-1r=0aA+raA+bA+r)(vAlnz)nn!](5)

记hA(z)=1+∑∞n=1(∏n-1r=0aA+raA+bA+r)•(vAlnz)nn!(6)

则GA(z|γ)=1-pA(γ)+pA(γ)hA(z)

=1+pA(γ)(hA(z)-1)≈epA(γ)(hA(z)-1) (7)

所以整个贷款组合的违约损失概率生成函数可以表示成

GA(z|γ)=∏AGA(z|γ)=e∑ApA(γ)(hA(z)-1)

=e∑ApA∑Kk=1gAkγκ(hA(z)-1)=e∑Kk=1γkPk(z) (8)

其中Pk(z)=∑ApAgAk(hA(z)-1)

2.1.2 行业风险因子相关性的处理

在原CreditRisk+模型技术文档中,行业风险因子γ1,γ2,…,γk相互独立,并且都服从均值为1的Gamma分布。它们的形参数和规模参数分别记为αk和βk,k=1,2,…,K。

为了对原CreditRisk+模型行业风险因子之间引入一般的相关性结构,本文采用本课题组提出的方法[4],从宏观经济变量中选取若干系统风险因子Y1,Y2,…,YN,并假设其服从均值为1、方差为δ2i,i=1,2,…,N的Gamma分布。行业风险因子受系统风险因子的影响,其形参数可分别表示为

αk=(bk1Y1+bk2Y2+…+bkNYN)k(9)

其中k为一常数,且∑Ni=1bki=1,k=1,2,…,K。

由(8)式可知

G(z|Y1,Y2,…,YN)

=∫∞0…∫∞0e∑Kk=1γkPk(z)∏Kk=1gαk,βk(γk)dγ1…dγK

=∏Kk=11(1-βkPk(z))αk (10)

其中gαk,βk(γk)为γk的概率密度函数。

由于行业风险因子的期望为1,所以

αk=bk1Y1+bk2Y2+…+bkNYNβk(11)

将(11)式代入(10)式可得

G(z|Y1,Y2,…,YN)=e-∑Ni=1Yi∑K

k=1bkiβkln(1-βkPk(z))=

e∑Ni=1Ai(z)•Yi(12)

其中Ai(z)=-∑Kk=1bkiβkln(1-βkPk(z))

所以

G(z)=∫+∞0…∫+∞0e∑Ni=1YiAi(z)∏Ni=1gαi,βi(Yi)dY1…dYN

=∏Ni=11(1-βiAi(z))αi=e-∑Ni=1αi•ln(1-βiAi(z))(13)

由于假设Yi服从均值为1、方差为δ2i的Gamma分布,所以αi=1δ2i,βi=δ2i。因此,由(13)式可得贷款组合的违约损失概率生成函数

G(z)=e-∑Ni=11δ2i•ln(1-δ2iAi(z))(14)

其中Ai(z)=-∑Kk=1bkiβkln(1-βkPk(z))

Pk(z)=∑ApAgAk(hA(z)-1)

hA(z)=1+∑∞n=1(∏n-1r=0aA+raA+bA+r)•(vAlnz)nn!

上面是在假定债务人违约概率的变化与违约损失率的变化相互独立的情况下,给出了贷款组合的违约损失概率生成函数。我们对(14)式进行分析发现,新方法的违约损失概率生成函数与多元系统风险因子模型的违约损失概率生成函数的唯一不同体现在hA(z)的形式上。在新方法中,当bA=0时,hA(z)=zvA,这时新方法的违约损失概率生成函数就变成了多元系统风险因子模型的违约损失概率生成函数。因此,新方法是多元系统风险因子模型的一般情形。另外,从推导过程中可以看出,新方法能对债务人违约损失率的变化情形进行灵活处理,如果债务人的违约损失率不是服从Beta分布,而是服从其它分布,则贷款组合的违约损失概率生成函数只需在hA(z)的形式上相应的发生变化,其它保持不变。

2.2 参数的确定

与多元系统风险因子模型一样,新方法行业风险因子的方差与协方差存在如下关系

Var[γk]=βk+∑Ni=1b2kiδ2i

Cov(γk,γl)=∑Ni=1bkibliδ2i, k≠l(15)

在实际应用中,需根据行业风险因子的自身特性和它们之间的协方差矩阵,事先估计出行业风险因子的规模参数βk,即在未受到系统风险因子影响时行业风险因子的方差,然后根据行业风险因子之间的协方差矩阵和(15)式计算出相应的参数。

对于违约损失率,在上文我们已经假设债务人A的违约损失率服从Beta分布,记为εA~B(aA,BA)。Beta分布具有如下性质

E[εA]=aAaA+bA

Var[εA]=aAbA(aA+bA)2(aA+bA+1)(16)

在实际应用中,如果要单独估计出每笔贷款违约损失率的均值与方差,由于条件的限制,较难实现。但我们可以将贷款组合中的各笔贷款按照贷款的期限、抵押性质、偿还的优先级等进行分组,分别估计出各组贷款的平均违约损失率及方差,并将它们作为组内各笔贷款违约损失率的均值与方差的近似值,在此基础上,依据(16)式,计算出aA与bA的值。

3 算例分析

为了验证新方法的实用性,本了如下的算例分析。

3.1 数据的选取

假设贷款组合来自4个不同的行业,各个行业的行业风险因子分别记为γ1、γ2、γ3和γ4,它们都服从均值为1的Gamma分布。假设每个行业各有100笔贷款,我们分别对各个行业中的贷款从1到100进行编号。假设它们的无条件违约概率和风险暴露分别为

pij=1%, i=4k-32%, i=4k-23%, i=4k-14%, i=4k vij=i,i∈N+

即i为正整数。

pij,vij分别为行业j中第i笔贷款的无条件违约概率和风险暴露。

假设这4个行业的行业风险因子协方差矩阵为

0.050.01450.01410.0660.01450.060.10470.06630.01410.01470.070.06660.0660.06630.06660.6

我们再假设这4个行业风险因子的规模参数分别为:0.0351,0.0454,0.0547,0.0811,并假设这4个行业风险因子受3个系统风险因子Y1,Y2,Y3的影响,则根据协方差矩阵和给定的规模参数值,按照(15)式,可将行业风险因子的形参数表示为

α1=(0.8Y1+0.1Y2+0.1Y3)/β1α2=(0.7Y1+0.2Y2+0.1Y3)/β2α3=(0.6Y1+0.3Y2+0.1Y3)/β3α4=(0.1Y1+0.1Y2+0.8Y3)/β4(17)

此时系统风险因子的方差分别为0.01,0.04,0.81。

为了简便起见,我们假设各个行业的贷款只受该笔贷款所在行业的行业风险因子的影响,并假设这400笔贷款具有相同的违约损失率。

3.2 计算方法的选取

原CreditRisk+模型技术文档使用Panjer算法进行迭代求解,然而,Gordy[8]发现,Panjer算法在计算过程中会产生舍入和累计误差,容易导致计算出来的结果产生较大的偏差。针对这一问题,Gordy和Giese[3]分别提出了鞍点逼近算法和嵌套计算方法进行改进。嵌套计算方法比较适合于只含有指数形式和自然对数形式的违约损失概率生成函数的求解。根据新方法违约损失概率生成函数的特点,本文采用鞍点逼近算法进行求解。

在鞍点逼近算法中,需要用到累积量生成函数,累积量生成函数与概率生成函数存在以下关系

ψy(z)=log(Gy(exp(z)))(18)

其中ψy(z)为随机变量y的累积量生成函数,Gy(z)为随机变量y的概率生成函数。

鞍点逼近算法可以表示成:

假设随机变量Y的概率分布为G(y),累积量生成函数为ψ(z),为方程y=ψ′(z)的唯一实数根,采用Lugannani-Rice公式,则对于分布G有

1-G(y)≈1-(w)+φ(w)(1u-1w)(19)

其中w=2(y-ψ()),u=ψ″(),和φ分别表示标准正态分布的累积分布函数和概率密度函数。

3.3 计算结果及分析

本文使用MatLab 7.0进行编程,采用鞍点逼近算法进行求解,计算出上述贷款组合在违约损失率的形参数分别为a=1,b=1、a=2,b=2、a=3,b=3、a=5,b=5和违约损失率为固定常数0.5时各个置信水平下所对应的VaR值,结果分别如表1所示。

表1 各个置信水平下计算出的VaR值

99%99.5%99.9%

a=1,b=1614669789

a=2,b=2601653772

a=3,b=3595646764

a=5,b=5589640754

LGD=0.5579628738

当a=1,b=1时,该贷款组合在不同的置信水平下对应的VaR值如图1所示。

图1 a=1,b=1时各个置信水平所对应的VaR值

从表1可以看出,在违约损失率的均值保持不变的前提下,随着违约损失率方差的减小,各个置信水平所对应的VaR值依次减少。这是因为,当其它条件保持不变,违约损失率的均值不变,方差减小,则贷款组合违约损失的波动变小,对应的风险也肯定变小。另外,从表1可以很明显地看到,相比其它情形,违约损失率为常数时各个置信水平所对应的VaR值最小。因此,不考虑违约损失率的变化,会低估贷款组合的风险水平。

在表1中,当a=1,b=1时,置信度从99%提高到99.5%,违约损失从614提高到了669,增加了55;而当置信度从99.5%提高到99.9%时,违约损失从669增加到789,增加了120,也就是越到尾部,置信度每提高一点,违约损失就要增加更大的幅度;从图1中可以看出,违约损失分布具有明显的厚尾性质。另外,可以看到,随着违约损失的增加,置信度越来越靠近1,这说明了新方法计算的精确性。

4 结论

本文在基于行业特性的多元系统风险因子CreditRisk+模型的基础上,按照贷款期限、抵押品性质、还款的优先级等,将贷款分成不同的组合,假设各个组合中各笔贷款的违约损失率服从Beta分布,提出了一种综合考虑违约损失率变化和行业风险因子相关性的计量贷款组合非预期损失的新方法,并采用鞍点逼近算法进行求解。通过数值实验发现,新方法能很好地反映出债务人违约损失率的变化情况。

新方法能够灵活地对债务人违约损失率的变化进行处理。随着违约损失率研究工作的推进,如果能用其它的分布更好地模拟债务人违约损失率的变化,本文提出的新方法仍然适用,只需对贷款组合违约损失概率生成函数中的hA(z)作相应的调整。

参 考 文 献:

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[2]Burgisser P, Kurth A, Wagner A, et al.. Integrating correlations[J]. Journal of Risk, 1999, 12(7): 37-44.

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[4]彭建刚,吕志华.基于行业特性的多元系统风险因子CreditRisk+模型[J].中国管理科学,2009,17(3):56-64.

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[7]彭建刚,张丽寒,刘波,等.聚合信用风险模型在我国商业银行应用的方法论探讨[J].金融研究,2008,(8):72-85.

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