一元二次方程常见错解剖析

一元二次方程是八年级数学学习的一个重点.初学这部分知识，有些同学会因为概念不清、理解不透或思考不周密，解题时忽视了题中的隐含条件而出现错解.常见的错解类型主要有以下几种.

一、忽视了因式为零

例1解方程（2x-3）2=3（2x-3）.

错解：方程两边同除以2x-3，得2x-3=3，解得x=3.

剖析：方程两边不能同除以2x-3，因为2x-3有可能等于零.正确的解法是移项，得（2x-3）2-3（2x-3）=0，即（2x-3）（2x-6）=0，解得x1=3，x2= .

二、忽视了定义的条件

例2关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为零，则a的值为（）.

A.1B.-1C.±1D.0

错解：把x=0代入原方程，得a2-1=0，解得a=±1.

剖析：因为题中已经指明原方程是一元二次方程，所以其二次项的系数不能为零，即a-1≠0，亦即a≠1.因此正确答案为B.

三、忽视了判别式的取值范围

例3关于x的一元二次方程x2-（n-1）x+n+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数n的值.

错解：设x1、x2是原方程的两个根，则由根与系数的关系得x1+x2=n-1，x1x2=n+1，因为x12+x22=4，所以（x1+x2）2-2x1x2=4，即（n-1）2-

2（n+1）=4，整理为n2-4n-5=0，解得n1=5，n2=-1.

剖析：已知原方程有两个实数根，则根的判别式应大于或等于零，即Δ=n2-6n-3≥0.正确的解法是将求得的两个n值分别代入判别式进行检验.当n=5时，Δ=-8（不符合题意）；当n=-1时，Δ=4.因此正确答案为n=-1.

四、忽视了方程有实数根的含义

例4若关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）.

A.0、1B.0、1、2C.1D.1、2、3

错解：由题意可知k≠0且Δ=（-4）2-4・3k≥0，解得k≤ 且k≠0.因此k的非负整数值是1.

剖析：由题意可知，原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，因此，正确的解法应分k=0和k≠0两种情况来分析.当

k=0时，原方程可化为-4x+3=0，其实数根是x= ；当k≠0时，由Δ=（-4）2-4・3k≥0，解得k≤ 且k≠0.因此可知k的非负整数值是0和1，正确答案为A.

五、忽视了被开方数的取值范围

例5关于x的一元二次方程x2- ・x-m+2=0有两个相等的实数根，求m的值.

错解：由题意可知Δ=m2- 6m- 4（-m +2）= m2-2m-8=0.解得m1=

-2，m2=4.

剖析：题中一次项的系数是一个二次根式，二次根式的被开方数应为非负数，即m2-6m≥0.正确的解法应将求得的m值代入该不等式进行检验.当m=4时，m2-6m=-8（不符合题意）；当m=-2时，m2-6m=16.因此正确答案为m=-2.

[练习]

1.解方程（3x-4）2=2（3x-4）.

2.关于x的一元二次方程x2 + 2（m - 2）x+m2=0有两个实数根，且两个根的平方和比两个根的积大33，求m的值.

[参考答案]

1.x1= ，x2=2

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