牢固掌握课本题 轻松解决高考题

课本是同学们学习的根本，也是高考命题的源泉，近年全国和各省市高考数学试卷不少问题都来自课本，如2008年高考江苏卷第13题和2013年高考江苏卷第17题来源于苏教版必修2第107页第103页的一道探究・拓展题的变形，等等.因此在学习中认真研读课本，掌握课本习题，对最终决胜考场大有裨益.

一、考题回放

考题1（2013・江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l∶y=2x-4.设圆的半径为1，圆心在l上.

（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

【分析】第（2）问的关键在于知道满足MA=2MO的点M的轨迹是个圆，由题意知，点M在C圆上，即为两圆相交.

【解析】（1）略（答案：y=3或y=- x+3）；

（2）设C（a，2a-4），M（x0，y0），则圆方程为（x-a）2+（y-2a+4）2=1，

由题意得（x0-a）2+（y0-2a+4）2=1.

MA=2MO， x02+（y0-3）2=4x02+4y02，即x02+（y0+1）2=4. M存在，圆（x-a）2+（y-2a+4）2=1与圆x2+（y+1）2=4有交点，即两圆相交或相切，（2-1）2≤d2≤（2+1）2，即1≤（a-0）2+（2a-4-（-1））2≤9，0≤a≤ .

考题2（2008・江苏）若AB=2，AC= BC，则SABC的最大值 .

【分析】可以假设待定的三角形一条边的长度及一个内角的大小，通过余弦定理建立起它们间的关系，并进而求出其关于面积的表达式，利用求最值的方法求出最值，但是这种方法比较繁；也可以利用坐标法，先固定A，B点，求出动点C的轨迹，进而建立面积关于点C坐标的关系式，并最终求出面积的最值.

【解析】如图，以AB为x轴，AB的中点为原点O，建立直角坐标系xOy.则A（-1，0），B（1，0），设C（m，n）.

AC= BC，AC2=2BC2.

（m+1）2+n2=2[（x-1）2+n2].

化简变形，得n2=-m2+6m-1=-（m-3）2+8.

当m=3时，|n|有最大值为2 .

S= ・AB・|n|=|n|，其最大值为2 .

二、题源扫描

这两道题的原型应该来自于苏教版必修2第103页的一道探究拓展题.

【题源】已知点M（x，y）与两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为 ，那么点M的坐标应满足什么关系？

【解析】由题意得： = ，化简得：x2+y2+2x-3=0，即（x+1）2+y2=4.

对于这道探究拓展题我们可以作如下的拓展.

三、题源拓展

【探究】已知动点M与两定点A、B的距离之比为？姿（？姿>0），那么点M的轨迹是什么？

【解析】如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设AB=2a，M（x，y），由题意得： =？姿，

化简得：（？姿2-1）x2+（？姿2-1）y2-2a（？姿2+1）x+？姿2a2-a2=0，

当？姿=1时，x=0，一条直线；

当？姿≠1时，x2+y2- x+a2=0，

即（x- ）2+y2= 表示以（ ，0）为圆心，半径为 的圆.

因此，当比值为1时，是线段AB的垂直平分线；当比值不为1时，是一个圆，而且圆心与直线AB在同一条直线上，这个圆我们称“阿波罗尼斯圆”.

【拓展】在平面上，一动点到两定点距离之比为定值，当比值不为1时，则动点的轨迹是个圆.这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”.

四、一些反思

教材凝聚了众多教育教学研究专家的心智，教材中的例习题都具有很强的基础性、典型性与示范性，它是教师教学的基础和根本，也是命题者的立足点.无论是模拟考试还是高考， 以经典题为生长点，以新课程理念为指导，推陈出新，演绎深化是编制高考和模拟试题的一种有效的方法，在高三复习时同学们必须重视教材，扎扎实实地用好教材，摆脱题海，切实打好基础，注重通法通解，只有这样才能以不变应万变，基础打牢了，自然的解决难题也会成为易事.

命题者以教材为基础，再在其上进行改编拓展，但基本的知识点都是同学们所学的，所谓万变不离其宗.因此同学们尽量的避免题海战术.同学们应将一些知识点类似的题目进行归类，看能否将一道题变形为某些具有价值的考题；同学们不但要注意一题多解，更要注意多题一解，掌握通解通法.

五、类似模拟题探究

1.（2013・南通）已知等腰三角形腰上的中线长为 ，则该三角形的面积的最大值是 .

2.（2013・通州）设圆C：（x+4）2+y2=16，动圆M：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+22=0.

试探究：平面内是否存在定点P，过点P作圆C的一条切线，切点为T1，过点P作圆M的一条切线，切点为T2，使无穷多个圆M，满足 = ？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由.

1. 解：设D为等腰三角形ABC的腰AC的中点，以BD所在的直线为x轴，BD的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则B（- ，0），D（ ，0），设A（x，y），

又AB=2AD，得（x- ）2+y2= ，

从而0

2. 解：设定点P（m，n），由题意得， = = ，

3m2+3n2+32m+2am+16n-2an-4a-22=0，

（2n-2m+4）a-（3m2+3n2+32m+16n-22）=0对于任意的a恒成立，

2n-2m+4=0，3m2+3n2+32m+16n-22=0，解得m=1，n=-1，m=-7，n=-9，

所以点P的坐标为（1，-1）或（-7，-9）.

（作者单位：江苏省通州高级中学）

责任编校 徐国坚