利用几何图象简化推理运算

摘 要：对于一些特殊形式的代数或三角题，单纯用代数或三角知识去处理，推理或运算过程比较复杂。而在有些代数式具有某种明显的几何意义时，如能作出它的图象，结合几何图象来思考，往往能使运算和推理过程简化，收到事半功倍的效果。本文利用几何图象的一些定理，简化推导方法，达到数形结合的良好解题效果。

关键词：向量的概念；向量的数量积；向量法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0033-01

对于一些特殊形式的代数或三角题，单纯用代数或三角知识去处理，推理或运算过程比较复杂。而在有些代数式具有某种明显的几何意义时，如能作出它的图象，结合几何图象来思考，往往能使运算和推理过程简化，收到事半功倍的效果。在解某些几何题的时候，一旦把几何问题代数化之后，往往忽视几何图形本身的作用而在代数运算上下功夫，常常使一些简单的几何性质的导出也要进行冗长而复杂的计算。因此，我们要充分利用几何图象，做到数形结合，达到很好的解题效果。

例1：不查表，求tan22.5°的值。

此题利用半角公式不难求出答案。但若用几何方法来处理，给人一个耳目一新的感觉，值得大家探究。

如图（1），作等腰直角三角形ABC，使B=90°，AB=BC=1则∠BAC=45°，AC=，延长BA至D，使AD=AC=，则∠ADC=22.5°，显然有tan22.5°=1+1=-1。

例2，若a1、a2、b1、b2都是实数，证明+≥。

此题用代数方法证明是比较麻烦的，但若我们将与几何中两点间的距离公式挂起钩来，就可得到下面比较简单的方法：因为a1、a2、b1、b2都是实数，如图（2），我们可在平面上作出坐标分别A（a1，b1），B（-a2，-b2）的两点，则： |OA|=

|OB|= |AB|=

由于|OA|+|OB|≥|AB|（A、O、B共线时取等号），故有

+≥。

例3：已知江面宽a里，两岸是平行线。电厂A向下游b里对岸工厂C供电。单位长电线安装费，水底是陆地的m倍（m>1），应当怎样安装电线，使安装费最省？

如图（3），若在D处下水，设AD=x里，令陆地上一里长电线安装费用为一个单位，则安装总费用为y=x+m，对此函数求极值，有不小难度。但仔细观察图形，设想把AD压缩为DE=AD，则总安装费用为y=AD+mCD=mED+mCD=m（ED+DC），而表示AD的线段DE，显然可由以AD为斜边的直角三角形ADE的直角边DE表示，只要∠DAE=α满足sinα=就可以了，这时DE=AD. sinα=，于是要y取最小值，只要ED+DC最短，显然必须E、D、C在一直线上。这时

BD=a.tanα=a.=

AD=b-BD=b-

故电线应离电厂b-里的D点下水。

例4：求函数f（x）=的最大值与最小值。

分析，此题粗看应该是三角函数最值问题。但如果是用三角函数的知识去解就很困难了。但仔细观察，不难发现式子右边和解析几何中直线斜率公式很类似。如此一来问题就很简单了。相当于单位圆上一动点（cosθ，sinθ）与一定点P（3，-2）的直线的斜率k的最大值与最小值。

解：如图（4）很明显当PA与PB与圆相切时，直线AP与BP的斜率分别取得最大值与最小值。设过点P且与圆相切的切线斜率为k，则切线方程为：y+2=k（x-3）即kx-y-3k-2=0，由圆心

O（0，0）到切线的距离等于半径1，得=1，解得

k= 。