用数学模型浅谈工地人员规划问题

摘要：要求是确定每月初到来和月末离开的工人数，从而使总成本最低。即为在满足条件的基础上，通过调离尽量少的工人，同时尽量避免缺员或冗员来完成规定的任务，且二者相互影响，所以要统筹全局。由于调离单位工人所需的成本小于缺少和多余单位工人的成本，所以在能达到相同的工作需求条件下，优先选择调离工人；而在相隔月份所需工人数差异较大时，则尽量避免大量的人员流动，进而使成本降低，将每月需求人数、实际安排人数、借调的人数、离开的人数、缺员数和冗员数分别定义为一个可容纳六个元素的数组，然后通过约束条件对其的限制，从而建立相应的数学代数式对其进行表达，最后通过数学软件LINGO对其进行计算求解。

关键词：LINGO程序 总成本最低 人员规划

一.模型的建立

通过对原问题的分析，可以建立如下的数学模型。首先明确变量：设第i个月的需求人数为αi，实际安排人数为χi，借调的人数为bi，离开的人数为ci，缺员数为di和冗员数为ei，其中i（1到6的整数）表示第i个阶段（即i+2月）。

则求解总成本的函数为：

每个月实际的工人数等同于上个月的工人数减去当月离开的人数，再加上本月借调的工人数，即：

χi=χi-1-ci-1+bi ，（i∈[1，7]，i∈N），

根据已知条件：2月底此工地上已经有了3名钢结构安装工，且在2月底没有人离开，并且要求在8月底此工地上仍然有3名钢结构安装工，则：

χ0=3，С0=0， χ7=3，b7=0

根据题义可得每月的实际工人数等同于当月所需求的工人数减去缺员数，再加上冗员数，即：

Χi=αi-di+e，﹙i∈[1，6]，i∈N﹚，

根据工作协议规定：每天加班时间不能超过正常工作时间的25%；每个月至多只能新来3名工人；每个月底离开此工地去其它工地的工人数不能超过总人数的 。即：

，

于是可以建立以下的线性整数规划模型：

其中 χ0=3，С0=0， χ7=3，b7=0

二.模型的求解

这是一个求有约束条件的多元函数的条件极值问题，结合本模型相关变量的设置，具体步骤如下所示：

1：由二月底此工地上限制工人数目为3人，且无人员流动，故由χ1=3-0+b1可以得出三月实际拥有工人数的可行解范围；

2： 再由bi≤3，χi≥3ci来确定相应的人员调离的数值bi和ci-1，由表达式χi=χi-1-ci-1+bi得出次月的人员流动的数值的可行域；

3：当取同一个χi时，由χi=αi-di+ei确定相应的缺员数di或冗员数ei；Step4：再由（100bi+100ci+200di+200ei）确定当第i个月取得相同的χi时，其所对应的bi和ci-1的最优解；

4：与上述步骤相同依次求解各个阶段的bi和ci-1的最优解，最后由代数式 得出全局的最优解。

答：根据上述算法，编写了实现其结果的LINGO程序（详见附录1），解得b1=1，b2=2，b3=1，c3=1，c5=2，c6=1，，其余的 bi和ci解均为0，即各月实际的工人数依次为4、6、7、6、6、4。具体借调情况为三月初借调1名工人，四月初借调2名工人，五月初借调1名工人，五月底有1名工人离开，七月底有2名工人离开，八月底有1名工人离开；最后的最低总成本为1600元。

参考文献：

[1]姜启源等，《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2003年8月

[2]邬学军，周凯，宋全军，《数学建模竞赛辅导教程》，浙江大学出版社，2009年8月

[3]唐焕文，贺明峰，《数学模型引论》（第三版），高等教育出版社，2005年3月