新车定价问题数学模型探讨

1、多元线性回归模型

（1）主成分分析。指把多个指标通过线性变换选出较少个数相互独立同时包含原来指标大部分信息的一种多元统计分析方法。对于n个样本资料，观察每个样本p个变量（指标）x1,x2,Lxp，那么构成了nXp阶的矩阵X模型必须满足以下条件：①Fi与Fj互不相关，i≠j，i，j=1,2,Lp；②F1的方差大于F2的方差，以此类推；③a21j+a22j+L+a2pj=1（j=1,2,L,p），从而确定系数aij的值，则F1,F2,LFp分别是第一、第二L第p个主成分。（2）回归分析。回归分析是一种处理两个或多个变量之间的相关关系的一种数理统计方法，用来分析样本数据之间存在的规律，本文采用的是多元线性回归分析的方法。若有k个自变量（解释变量），多元线性回归模型可以表示为y=β0+kj=1移βjxj+ε，其中，βi（i=0，1，2，L，k）为待估参数，ε为残差。采用最小二乘法求解上式中的参数通过MATLAB、SPSS等软件实现。（3）解释变量的选取。影响新车价格的因素众多，本文主要考虑新车的产品性能对价格的影响，选取了最高车速、最大扭矩、最大输出功率、排量、油耗、车重、车身长度七个影响新车价格的因素作为自变量。（4）模型的建立与求解。首先，用x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7分别表示最大扭矩（N-m）、最高车速（km/h）、油耗（L/100km）、车身长度mm、车重（kg）、排量（ml）、最大功率（kw）。①合资新车多元线性回归模型。本文选取了24款在2013年9月份到2014年3月份上市的新车车型，采用主成分分析法，借助MATLAB软件把多维数据降维处理，得到的结果如表1所示，前五个主成分的累积贡献率达到了92.48%，能够反映大部分信息，得到了5个主成分。表2中列出了样本的主成分系数，第一个主成分的信息来源于x6，x7；第二个主成分的信息来源于x4，x5；第三个主成分的信息来源于x2；第四个主成分的信息来源于x3；第五个主成分的信息来源于x1，x5。可以把本文所选用的7个自变量视为有效变量，用来建立多元回归模型。本文采用SPSS软件进行相关的分析,可以看到解释变量之间存在着多重共线性关系，所以要对价格进行多元线性回归,经过比较选出了一个最佳回归模型：y=-4.712+0.053x1+0.071x7+0.004x5-0.026x2根据上式，确定了新车的最大扭矩、最高车速、最大功率和车重四个参数的情况下，就可以计算出新车的价格。运行结果中R=0.953，R2=0.908，表明数据之间的回归关系是非常强的，该模型是合适的。对昕动2014款1.6MT乐享版、马自达62014款2.0自动经典型和明锐2015款1.4TDSG逸俊版三款新车进行估价，根据回归模型得到这三款车的价格分别是8.924万元，13.137万元，16.1万元。表3中列出了误差检验的情况，相对误差非常小，多元线性回归模型用在合资新车定价是可行的。②自主品牌新车多元线性回归模型。选取了23款在2013年10月份到2014年4月份上市的新车型，采用主成分分析方法，借助MATLAB软件把多维数据降维处理，结果如表4所示，前四个主成分的累积贡献率达到了85.48%，能够反映大部分信息，得到了4个主成分。表5列出了样本的主成分系数，第一个主成分的信息来源于x1，x3，x5，x6；第二个主成分的信息来源于x2，x4，x7；第三个主成分的信息来源于x3，x6；第四个主成分的信息来源于x1。可以认为所选的7个自变量均为有效变量。各变量之间同样存在着多重共线性关系，可以用来建立多元线性回归模型。经过比较选出最佳回归模型：y=-4.780+0.062x1+0.024x7+0.453x3-0.002x6。根据上式，确定了新车的最大扭矩、最大功率、油耗和排量四个参数的情况下，可以计算出新车的价格。模型的运行结果中R=0.970，R2=0.942，表明数据之间的回归关系是非常强的，该模型是合适的。对奔腾B702014款2.0MT舒适型、奔腾B702014款1.8T运动豪华型、福美来M52014款1.6MT标准型进行估价，由回归模型得到三款车的价格分别是9.1178万元，13.0062万元，7.0366万元。表6中列出了误差检验的情况，预测值相对误差都没有超过10%，可以认为多元线性回归模型对自主品牌的新车定价是可行的。

2、BP神经网络模型

通过BP神经网络模型研究新车特性和价格的非线性映射关系，对新车的价格造成影响的因素作为输入，新车的价格作为输出，建立BP神经网络模型。本文采用多元回归模型时的新车作为样本，把合资新车和自主品牌新车分开研究。选取的样本向量的各个分量指标能够充分的反映新车价格变化的特征，本文选取最大扭矩、最高车速、油耗、车身长度、车重、排量、最大功率作为定量指标。在研究合资汽车时，对昕动2014款1.6MT乐享版、马自达62014款2.0自动经典型和明锐2015款1.4TDSG逸俊版三款待估价车的价格进行预测，结果见表7，三款新车的相对误差都没有超过2%，说明模型对合资企业定价来说是可行的。在研究自主品牌汽车时，对奔腾B702014款2.0MT舒适型、奔腾B702014款1.8T运动豪华型、福美来M52014款1.6MT标准型三款待估车的价格进行预测，结果见表8，三款新车的相对误差均未超过7%，说明模型对自主品牌新车定价来说是可行的。

3、结论：两种定价模型的分析比较

表3、6、7、8统计了对两个模型检验的相对误差，这两个模型的相对误差都是比较小的，可以认为这两个模型都是可行的。多元线性回归模型的计算量比较小，但是不容易发现解释变量之间的多重线性关系。在前面研究了合资和自主品牌价格在20万以内的新车的多元线性回归模型，该区间模型估价的误差非常小，其他价格区间如何呢？为此本文探讨了价格在30~70万元之间的新车的多元线性回归模型，这个价位的新车相对较少，只选取了14款这个价格区间的新车型，得到回归方程（建模及求解过程略）：y=22.144+0.122x1+0.025x7,上式的运行结果中，R=0.661，R2=0.437,表明数据之间的回归性不是很强，用多元线性回归模型研究这个价位区间新车的价格不合适。另外，在前面两个模型中，新车之间的价格间距是比较小的，而30~70万的新车价格间距很大，这些因素都会影响模型的准确性。多元线性回归模型适用的价格区间还可以进一步探讨。BP神经网络模型是解决内部结构复杂问题有效的模型，模型的自学习和自适应能力很强；但其缺点也是十分明显的，当数据少的时候，误差比较大；收敛速度慢。高的价格区间新车样本比较少，而BP神经网络模型需要足够的样本数据，因此，本文没有再探讨其他价格区间BP神经网络模型的效果。但是，和多元线性回归模型一样，BP神经网络模型也需要进一步探讨适合的价格区间。在两个模型的改进中，应该全面考虑解释变量。如果变量过多，可以用主成分分析法对解释变量进行降维处理，得到几个少量的能反映绝大部分信息的新的解释变量，用来研究这两个模型。另外，这两个模型都没有考虑市场变化等因素对新车价格的影响，还需要完善。

作者：逄吉玲 单位：山东省劳动职业技术学院