计算机辅助数学思想方法教学的案例研究

摘 要：数学教学与信息技术进行整合是新课改的基本理念之一，运用计算机辅助教学在认识上已经走出了“黑板+粉笔”的低层次的应用水平，转而突出计算机在变静为动、变微为著、变离散为连续、变结论的获取为过程的探索、变数学对象的外部观察为内部结构的研究等方面的应用。

关键词：计算机辅助教学；数学思想方法；案例研究

中图分类号：G434 　 文献标识码：A 文章编号：1673-8454（2012）16-0052-03

计算机辅助数学教学要体现数学教学的理念，既要辅助教师的教，更要辅助学生的学，引导学生观察现象、感知过程、体悟思想方法，建构多维知识体系。本文通过苏教版（选修2-2）中《导数》一章中“曲线上一点处的切线”课件制作过程，来探索如何运用几何画板演示连续变化、膨胀收缩、分裂合并、有限无限等数学思想的实现途径。

一、通过情境创设，感悟以直代曲的必要性

1.情境

光线射到曲线上一点P，光线如何反射？

学生知道光线在直线上如何反射，曲线上的光线反射问题怎么转化成直线上的反射问题呢？

2.问题

对曲线精确变化趋势如何刻画？

3.讨论

局部以直代曲。

课件演示：用线段上的关联点控制缩小与放大，原图中矩形在向右移动的过程中逐渐连续放大，拖动再放大点，则圆内曲线连续放大。当原图中的点P在曲线上移动时，右面两个被放大的图形也随之变化。

如果将点P附近的曲线再放大，我们有什么发现？

如果继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，该直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线。曲线可能在这条直线的同侧，也可能在这条直线的两侧。

在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，在点P附近，曲线可以当做直线。（即在很小范围内以直代曲）

既然点P附近的曲线被看做直线l，那么曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”如何刻画？

引导学生得出结论：既然点P附近的曲线被看做直线l，从而可用直线l的斜率来刻画曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”。

二、通过动态演示，体悟数学概念建构过程

1.问题

直线l1、l2为经过曲线上一点P的两条直线。

（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线。

（2）在点P附近能作一条比l1、l2更加逼近曲线的直线l3吗？

（3）在点P附近能作一条比l1、l2、l3更加逼近曲线的直线l4吗？

（4）怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢？

2.定义

辨析割线与切线。

联系在圆锥曲线中学习的切线概念，让学生辨析何谓割线、何谓切线，图1中，l1是割线，l2是切线，然后，动态演示割线逼近切线的过程，如图2所示，让学生感知并给出割线与切线的定义。

3.数学化

割线逼近切线的数量化。

通过刚才的模型演示，探索如何用割线斜率来逼近切线斜率。

设曲线上一点P（x,f(x))，过点P的一条割线交曲线于另一点Q（x+Δx,f(x+Δx))，动态测量割线的斜率PQ，即k==，当点Q沿曲线向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近P点的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P（x,f(x))处的切线的斜率。

三、操作体验：感受斜率与切线关系

1.操作

在学案上，利用直尺，用割线逼近切线的方法作切线。

2.据图写斜率

在图3的（1）至（3）中，直线l为曲线在点P处的切线，分别求l的斜率。

四、实例研究：从数与形两个方面逼近求斜率

1.例题

已知f(x)=x2，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率。

分析：为求得过点(2，4）的切线斜率，我们从经过点（2，4）的任意一条直线（割线）入手。

（1）图形逼近

可以让点Q从点P左右两边向点P移动，加强学生的直观印象。

（2）数值逼近（见图4）

2.课堂练习（见图5）

（1）l为经过曲线上点P和Q的割线。

①若P(1,2)，Q(5,7)，求l的斜率；②当Q沿曲线向点P靠近时，l的斜率变大还是变小？

（2）运用例题中割线逼近切线的方法，分别求曲线y=x2在x=0,x=-2,x=3处的切线斜率。

通过练习，进一步体验切线斜率的几何意义，体会割线逼近切线思想的应用。

五、深化理解：提炼思想方法、提高建模能力

一是两种思想方法：局部以直代曲——精确刻画曲线上某一点处的变化趋势；逼近——割线逼近切线。

二是图形逼近的数量刻画——割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”的一种数量化。

三是曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念，要学会利用割线逼近切线的方法求切线的斜率。

六、对运用计算机辅助教学必要性的认识

1.展示逼近过程

导数概念的建立基于“无限逼近的过程”，这个逼近的过程是抽象的，它需要学生经历平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，而瞬时变化率就是导数，所以建立导数的概念就是要展示这个逼近的过程。逼近的过程是连续的，这个过程在以往是通过教师的描述，学生在头脑中完成的，有了技术手段，就可以将片段、零散的、抽象的变成连续的、完整的、具体的。

2.感受“局部以直代曲”

曲线上一点P附近的图形持续放大，是“局部以直代曲”思想方法产生的源头，也是本节的要点，教学时可以边讲边画出逐步放大的过程及图形，通过几何画板这一软件，可以展示曲线中选取的任意某一段，将其连续放大，并可以按照个人的意愿任意放大，真正体现连续变化、分裂合并和膨胀收缩原理。[1]

3.体现数形结合思想

由于课标要求导数概念的建立脱离极限概念，以防止对极限概念认识和理解的困难，影响对导数本质的认识和理解，同时，课标强调“对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习”，并且要求“通过函数图像直观地理解导数的几何意义”。[2]但是形的表征最终仍旧需要数的精确刻画，那么，如何将二者紧密结合起来呢？通过几何画板，我们可以同时实现图形逼近与数值逼近的过程。

4.体会切线定义的动态生成过程

割线逼近切线既体现了逼近的思想，也体现了局部以直代曲的思想，而割线斜率逼近切线斜率则是“以直代曲”的数量化。割线的斜率数学本质是平均变化率，切线的斜率则是曲线上两点的纵坐标相对于横坐标之差的平均变化率在动点向定点运动过程中的极限位置，这个变化的过程是细微的、瞬时的、抽象的，如何呈现这一过程、使学生直观地认识这一动态过程，就需要根据连续变化原理和有限无限原理来设计。

参考文献：

[1]高中数学教学参考书?数学（选修2-2）[M].南京：江苏教育出版社，2005.6.

[2]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.3.