集合列的上下极限

【摘 要】本文讨论了集合列的上下极限及其性质。

【关键词】数列；上下极限；集合列

[Abstract] This article discussed the sequence about limit with to gather the row about limit and it’s the nature .At the same time also discussed between them the relations.

[Key words] Sequence；About limit；Set row

1.引言

极限的概念是数学分析的一个最重要的理论部分。极限思想在数学中起着无语伦比的重要作用。极限思想是早在清代时期著名数学家明安图发现的。上下极限的概念是极限概念的延伸，与极限概念相比，当然处于次要的地位，成为数学分析中重要的理论部分。此外由于上下极限的引入，使得极限多了一条判别定理，对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，都有着种要得意义。

2.集合列的上下极限集与性质

2.1定义：设是任意一列集合。由属于上述集合列中无限多个集的那种元素的全体所有组成的集成为这一集列的上级或上极限，

记为 或 。

对集合列那种除有限个下标外，属于集合列中每个集合的元素全体所组成的集合称为这一集合列的下极限集或下极限。

记为 或 。

尽管定义是这么给出的，但也讲究合理性。

2.2与数列极限的区别与关系

对数列而言： 已有上、下极限概念，这里是对集合列规定上下极限概念，两种极限概念在定义对象上有区别，但又应该有联系，那么联系在何处呢？

对数列而言：

=，

这里是刚好不小于所有的数 .

是刚好不大于所有的数。

对集合列而言：

由属于无限多个集合的元素所组成的集为，且它的全体元素所组成的集不大于所有的集是，

故为集合列的上极限是合理的。

同理，为集合列的下极限也是合理的。也就是说集合列的上、下极限概念是数列的上、下极限概念的平移。

当上、下极限相符时，称集合列收敛，并称其上、下极限为极限，这也只不过是数列上、下极限概念的评议而已。

例1. 设E，F为集合作集合列由上、下极限的定义得到，于是集合列收敛

例3 ，

，求上下极限。

解：

① ，

② 则

③当，即 ， ，可以 且

④时当时但即而从而 可以得而

⑤，时，当时，但 从而 但 ， ，可以得 ， 由此可得

=

=。

参考文献：

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