让学生错解的价值在辨析中闪光

摘 要：在数学学习中，激发学生辨析习题错解，通过辨析展开讨论，能帮助学生形成较为完整的知识体系，提高教学解题能力。

关键词：数学学习；学生错解；辨析

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）22-091-1

什么是学习？有的学习理论认为“学习是对反应的强化”，有的学习理论认为“学习是对理解的探索”，显然，作为反应强化的学习因过分强调死记硬背而忽略了有意义的学习，正受到越来越多的质疑.新课标也十分倡导有意义的数学学习方式，强调数学学习的过程是一个体验、理解、反思的过程.本文记录了一次对学生错解的课堂辩析过程，试图说明辨误是提高学生数学能力的有效手段，同时倡导将学生的典型错解转化为教学资源.

一、疑问的产生

教师出示例题：已知 x、y∈R+，a、b∈R+，ax+by=1，求x+y的最小值.

过了不一会儿，便有多名同学纷纷举手，表示已完成问题，教师打开视频展视台，鼓励同学们主动展示自己的解题过程.

生1： ax+by≥ 2abxy 且ax+by=1，xy≥2ab，x+y≥2xy≥4ab，则x+y的最小值为4ab.

生2：ax+by=1，x+y+1=ax+by+x+y=（x+ax）+（y+by）≥2a+2b，则x+y的最小值为2a+2b-1.

生3：ax+by=1，x+y=（x+y）（ax+by）=a+b+ayx+bxy≥a+b+2ab，则x+y的最小值为a+b+2ab.

面对三种不同的思路和结论，到底谁是正确的？班级的气氛马上热烈起来，讨论甚至争论不由自主地展开了.

二、疑点的定位

师：三位同学的解答都分别运用了已知条件和基本不等式，好像都有道理，但结果却截然不同，究竟谁对呢？问题的关键在哪里呢？

生4：如果能用特殊方法先探求出最小值，就可以知道对错，然后再作进一步的分析就容易了.

师：生4的这种特殊探路的思想方法很好，大家不妨一试.

（过了一会儿，无人应答，看来……）

生5：为什么不能再换一种思路呢？我看可以先从条件ax+by=1中解出y=bxx-a，采用换元法去做，或干脆令a=1，b=4先做一下.

师：（很吃惊）好像跑远了……，但是将二元问题化归为一元问题符合转化的一般性原则，而取特殊值又符合生4特殊探路的想法，看来值得我们去尝试，请大家动手做一做.

几分钟后，生5通过投影展示了自己的杰作：

令a=1，b=4，则 1x+4y=1，解得y=4xx-1， 又x>0，y>0，4xx-1>0，从而x>1，x+y=x+4xx-1=x+4x-1+4=（x-1）+4x-1+5≥5+24=9.

师：我们的探索又有了新的进展，生5发现当a=1，b=4时，x+y的最小值为9，由此你能判断生1、生2、生3三位同学的结论谁是正确的吗？

生6：a=1，b=4时，4ab=8，2a+2b-1=5，a+b+2ab=9，可以判断生3可能是正确的.

师：生6的回答很严密.其实刚才生4、生5、生6三位同学的探求过程不仅给出了特殊化法和换元法等新的解法，而且使我们对问题的研究变得更加深入，充分展示了同学们的创造性.现在让我们回到起点，一起来看一看生3是否真的正确，生1和生2又错在哪里？

生2：（恍然大悟）我知道了.我犯了一个错误，求最小值后没有进一步验证取到最小值的条件，其实生1和生3也没有进行这项工作.

师：生2认为，等号成立的条件是否具备是问题的焦点，大家同意他的判断吗？（稍作停顿）没有意见就请针对生1、生2、生3以及生5的解答分别判断各自取到最小值的条件是否成立.

三、疑惑的澄清

随着大家埋头计算，刚刚很热烈的教室立即安静下来，几分钟后，许多同学先后完成了计算，结果再次证明生1和生2的答案是错误的.

师：让我们反思一下，通过对例题错解的讨论和辨析，你有了什么收获、得到了哪些经验和教训？

生2：给我留下最深刻的印象是求最值时一定要注意检验最值成立的条件是否具备.

生7：其实生2和生3的方法中都用到了“1的代换”，可惜生2无法满足等号成立的条件，对比一下可以发现，在生2的变形过程中用到了两次基本不等式，生3的只用到一次基本不等式，这也许就是问题所在.

生8：我发现一题多解不仅仅是多了几种解题方法，还可以作为检验答题正确与否的一种手段，生5的换元法是一种常用方法，我没有想到真不应该.

师：同学们的总结很好，特别再强调一下：在运用基本不等式求最值的过程中，我们一定不能忽略等号成立的条件，当然也要注意“正数”和“定值”等条件，也就是常说的“一正、二定、三相等”.