时间：2022-10-02 06:22:57
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）的部分图象，求ω和φ值，是高考数学的一个热点，也是学生的一个难点、易错点.本文就如何利用“五点法”来求ω和φ值作一些探析，供大家参考.
课本中，把“五点法”中的横坐标为0，πD2，π，3πD2，2π的五点分别叫做第一点、第二点、第三点、第四点、第五点.
由“五点法”知（从左到右）：
第一点是图象继续上升且与x轴相交的点；
第二点是图象开始下降且与x轴不相交的点；
第三点是图象继续下降且与x轴相交的点；
第四点是图象开始上升且与x轴不相交的点；
第五点是图象继续上升且与x轴相交的点.
当我们要画出函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的简图时，我们会把ωx+φ看成一个整体，分别令ωx+φ=0，πD2，π，3πD2，2π，求出相应x的值，通过列表，确定顺序的五个点，然后作出函数的简图.根据这种做法，有下列结论：
若（x0，0）是第一点，且sin（ωx0+φ）=0，则ωx0+φ=0；
若（x0，1）是第二点，且sin（ωx0+φ）=1，则ωx0+φ=πD2；
若（x0，0）是第三点，且sin（ωx0+φ）=0，则ωx0+φ=π；
若（x0，―1）是第四点，且sin（ωx0+φ）=―1，则ωx0+φ=3πD2；
若（x0，0）是第五点，且sin（ωx0+φ）=0，则ωx0+φ=2π.
由上述可知，只要知道函数f（x）的一个最小正周期内的五点中的任意两点，就可以求ω和φ值.
例1（2011年高考江苏卷・文9理9）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）的部分图象如图1所示，则f（0）的值是.
解析易知A=2，
由周期T=2πDω=4（7πD12―πD3）得ω=2，
所以f（x）=2sin（2x+φ）.
下面我们来求φ值.
思路1（“五点法”） 把点（πD3，0）代入f（x）=2sin（2x+φ），得sin（2πD3+φ）=0.
因为点（πD3，0）是“五点法”中的第三点，所以由sin（2πD3+φ）=0，得
2πD3+φ=πφ=πD3.
故而f（0）=2sinπD3=6D2.
思路2（“五点法”）把点（7πD12，―2）代入
f（x）=2sin（2x+φ），
得sin（7πD6+φ）=―1.
因为点（7πD12，―2）是“五点法”中的第四点，所以由sin（7πD6+φ）=―1，得
7πD6+φ=3πD2φ=πD3.
故而f（0）=2sinπD3=6D2.
思路3（常规方法）
sin（2πD3+φ）=02πD3+φ=kπ
φ=kπ―2πD3（k∈Z）.
所以f（0）=2sin（kπ―2πD3）=±6D2.
由图知，f（0）>0，
于是f（0）=6D2.
思路4（常规方法）
sin（7πD6+φ）=―1
7πD6+φ=―πD2+2kπ
φ=―5πD3+2kπ（k∈Z）.
所以f（0）=2sin（2kπ―5πD3）=6D2.
点评（1）在此题中，没有限制φ的取值范围，所以φ值有无穷个，如φ=kπ―2πD3（φ=―5πD3+2kπ）（k∈Z）.
但是，在做选择题或填空题时，用“五点法”求φ值，简便、速度快、正确率高.
（2）若此题对φ没有限制，而用思路1、思路2求出φ，可分别改写为
2πD3+φ=π+2kπ、
7πD6+φ=3πD2+2kπ（k∈Z）.
例2（1990年高考）已知图2是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|
A.ω=10D11，φ=πD6B.ω=10D11，φ=―πD6
C.ω=2，φ=πD6D.ω=2，φ=―πD6
解析把点（0，1）代入y=2sin（ωx+φ），得sinφ=πD2.
因为点（0，1）介于“五点法”中的第一点和第二点之间，
所以φ=πD6，y=2sin（ωx+πD6）.
再把点（11πD12，0）代入y=2sin（ωx+πD6），
得sin（11πD12・ω+πD6）=0.
因为点（11πD12，0）是“五点法”中的第五点，
所以11πD12・ω+πD6=2π，
解得ω=2，故选C.
点评（1）小小的一道选择题，当年难倒了许多考生（笔者当年所教的学生恰好参加高考）.时过二十一个春秋，现在回过头来看看此问题，难，谈不上；易错，是真.是一道经典的好题！很有代表性，到现在也没有过时.