例析《图形与证明》新题型

例1 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠BCD=60°，CD=2AD，BC=2，点P是AB上的一点，求PCD周长的最小值.

解析 如图2，以直线AB为对称轴作直角梯形ABCD的对称图形ABC′D′，连接C′D交AB于点P，再连接PC，则PCD就是所求的有最小周长的三角形.图中∠D′C′B=∠BCD=60°，C′D′=CD，DD′=2AD，CC′=2BC=4.

CD=2AD，DD′=CD=C′D′.

又∠D′C′B=60°，∠D′C′D=■∠D′C′B=30°.

∠BCD=60°，∠CDC′=90°.

DC=■CC′=2，DC′=■=2■，

PCD周长的最小值为2+2■.

例2 如图3，AG直线l于G，P是直线l上且位于点G右侧的一动点，以AP为一边作正方形PABC，过点C、P作直线l的垂线，分别交直线l和∠PAG的平分线于点H、Q，连接QC.

（1） 求证：PCQ是等腰三角形；

（2） 探究：当点P在运动过程中∠AQC大小变化的规律，并说明理由.

解析 （1） AG直线l，PQ直线l，AG∥PQ，

∠PQA=∠QAG.

又AQ平分∠PAG，∠PAQ=∠QAG，

∠PAQ=∠PQA，PA=PQ.

四边形PABC是正方形，PC=PA，PC=PQ，

PCQ是等腰三角形.

（2） ∠AQC的大小保持不变，即∠AQC=45°.

PC=PQ，∠PCQ=∠PQC.

AG∥PQ，AG∥CH，

PQ∥CH，

∠PQC=∠QCH，∠PCQ=∠QCH.

又∠PAQ=∠PQA，

∠AQC=∠PQA+∠PQC=∠PAQ+∠PCQ=■（∠PAG+∠PCH）=45°.

例3 若两条平行直线l、m沿着某个方向经过平面图形的端点或与该图形相切，且该图形上的所有点都在l、m之间（也可以在直线l、m上），把l、m之间的距离称为该平面图形沿这个方向的宽度.如图4、图5和图6，d就是为3个图形分别沿某个方向的宽度.

阅读以上材料，回答以下问题：

（1） 如图7，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则菱形ABCD沿AC方向的宽度为 ，沿AB方向的宽度为 ；

（2） 如图8，在坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC落在x轴上，其中A（-1，0），C（7，0），连接OB，求正方形ABCD沿OB方向的宽度.

？摇？摇？摇？摇

解析 （1） 6，■.

四边形ABCD是菱形，ACBD，菱形ABCD沿AC方向的宽度为BD的长.

BD=6，菱形ABCD沿AC方向的宽度为6.

沿AB方向的宽度即为AB边上的高的长度，

设AB边上的高长为h，AB·h=■，h=■.

（2） 如图9，连接BD交AC于E，过A作AH∥OB，过C作CHAH于H.

四边形ABCD是正方形，A（-1，0），C（7，0），

BDAC，BD=AC=8，

OE=3，BE=4，OB=5.

AH∥OB，∠COB=∠CAH.

BDAC，CHAH，∠OEB=∠AHC，？摇

BOE∽CAH，■=■，

CH=■=■，

即正方形ABCD沿OB方向的宽度为■.

例4 矩形ODBE在坐标系中的位置如图10所示，其中点B的坐标为（6，8），

以B为直角顶点的三角板（ABC）绕点B旋转与x、y轴的正半轴分别交于点P、Q.

（1） 求■的值；

（2） 若M、N、G、H分别是四边形OPBQ中OQ、BQ、BP、OP的中点，顺次连接M、N、G、H.

① 试说明四边形MNGH为平行四边形；

② 记？荀MNGH的周长为L，则三角板旋转的过程中L的值是否发生变化？若不变，求出L的值；若改变，求出L的变化范围.

解析 （1） 易证BQE∽BPD，

■=■=■=■.

（2） ① 如图11，M、N、G、H分别是四边形OPBQ中OQ、BQ、BP、OP的中点，

MN∥OB，GH∥OB，OB=2MN，OB=2GH，

MN∥GH，MN=GH，

四边形MNGH为平行四边形.

② 在三角板旋转的过程中？荀MNGH的周长发生变化，其变化范围是20≤L

连接OB，PQ，设BQ=x，

■=■，BP=■x.

在RtBQP中，BQ=x，BP=■x，PQ=■x.

？荀MNGH的周长=OB+PQ，L=10+■x.

ABC绕点B旋转与x、y轴的正半轴分别交于点P、Q，6≤x

在三角板旋转的过程中？荀MNGH的周长发生变化，其变化范围是20≤L