研究高考试题导向 提高复习效率

摘 要：高考题是命题人精心打磨的精品，对下年的考试有导向和示范作用，能够为我们指明复习方向，揭示高效复习的方法，减少无用功，使广大师生轻松面对高考。本文从六个方面选择有导向性的好题：一 紧扣课程标准，突出基础：二 突出主干知识；三 突出几何直观；四 能正确体现基础与本质的关系；五 重视阅读能力，处理新信息能力的考查；六 强调应用意识，体现数学文化价值，引导学生积极主动的学习。

关键词：高考数学；试题导向；高考备考；主干知识

现在高考备考，很多师生认为数学成绩不好是题目做少了，依然是题海大战，试卷满天飞，盲目、重复的训练，以致师生苦不堪言。高考过后，师生反映一年的复习效果甚微，做的多是无用功，这确实令人痛心。寻找高效的复习方法，减少无用功，提高效率，是一线教师复习备考值得思考的问题。

高考题是命题专家的呕心沥血之作，对来年高考具有一定的导向和示范作用，教学中以高考题为例，让学生了解高考题，对他们高考成绩的提高有很大的作用。研究近几年特别是上一年的高考题，探寻高考命题趋势，是有效、针对复习的前提。研的内容、深度、广度，对师生的备考效率、效果产生巨大的影响，所以对教师来说，首先应该将高考题研究清楚，寻找正确的试题导向。

导向性的好题就是以考纲为纲，以课本为源，题目灵活新颖，不难不怪，考查基础知识的同时，注重考查能力。从高考试题的内容来看，基础知识和基本方法、思想不会有大的改变，改变的只是题目的背景，试题呈现的方式，着重考查能力，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。下面我们从六个方面研究试题，体会高考导向，以利提高复习效率。

一、紧扣课程标准，突出基础

突出基础，紧扣“标准”，既是命题的核心，也是教学的核心。这样的试题也最能体现考查学生的数学素养。

例1 若正实数x， y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）

A [245] B [285] C 5 D 6

本题是2012年高考数学浙江卷文科一道选择题，答案为C，虽然是小题，但内涵丰富，入手较宽，解法灵活。考生可以从两个方面入手解答本题，一方面从已知条件入手。思路1：消元，使目标变为一元函数。由x+3y=5xy得y=[x5x-3] ，又x>0，y>0，故x>[35]，3x+4y=3x+[4x5x-3] 。设f（x）= 3x+[4x5x-3]（ x>[35]）， （也可以消去x保留y）到此学生很容易会用导数法或基本不等式法求解易得答案。思路2：变成和为定值。因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5（x>0，y>0 ）。基本不等式法就会想到，3x+4y=[15]（[3x]+[1y]）（3x+4y）= [15]（[3xy+12yx+13]），因为[xy]>0，所以3x+4y[≥] [15（3×2][xy・4yx] +13）=5。当且仅当 [xy=4yx]且[3x]+[1y]=5，即当x=1，y=[12]时等号成立。另一方面，从所求目标入手。设3x+4y=t，（ x>0，y>0，t>0 ）。可以整体代换法求解，因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5，又3x+4y=t.两式相加得t+5=3x+4y+[3x]+[1y]=3（x+[1x]）+（4y+[1y]）[≥]3[×2]+2[×2]=10，所以t[≥5]，当且仅当x=1，y=[12]时等号成立。（当然也可以相乘解答）

此题有多种解法，可以从多方面考查学生的基础知识和基本技能是值得研究的一道好题。对此类题目分析研究不仅使学生掌握基础知识，还可以增强学生的发散思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。

二、突出主干知识

高中数学课程中，主干知识仍然是数列，三角、统计与概率、立体几何、解析几何和函数、导数、不等式；高考试题与教材联系紧密，注重基础，突出主干，强调思维，反复强调“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等思想。它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，他们始终贯穿高中数学课程，构成高中数学的基本脉络。高考试题强化考查考生对主干知识的认识和理解，他们反映了数学中更为丰富的东西，最终影响了学生将来的学习和工作。近几年安徽自主命题风格基本保持不变，下面以主干知识之一数列考查为例来看近几年安徽高考题。

① 2011年安徽理科第18题：在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T[n]，再令a[n]=lg T[n]， n[≥1].

（Ⅰ）求数列{ a[n]}的通项公式；

（Ⅱ）设b[n]=tana[n][・]tana[n+1]，求数列{ b[n]}的前n项和S[n].

本题考查等比数列通项公式以及数列与三角函数的综合 。

② 2012年安徽理科第21题：数列{x[n]}满足x[1]=0，x[n+1]=-x[2n]+x[n]+c（n[∈]N[*]） .

（Ⅰ）证明：{x[n]}是单调递减数列的充分必要条件是c

（Ⅱ）求c的取值范围，使{x[n]}是递增数列.

考查数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，着重考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解的能力，推理能力不是数列递推，这一点值得注意。

③ 2013年安徽理科20题：设函数f[n]（x）=-1+x+[x222]+[x332]+…+[xnn2]（x[∈]R， n[∈]N[*]），证明：（Ⅰ）对每个n[∈]N[*]，存在唯一的x[n][∈][[23]，1] ，满足f[n]（x[n]）=0；

（Ⅱ）对任意p[∈]N[*]，由（Ⅰ）中x[n]构成的数列{ x[n]}满足0

考查导数及应用，函数零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，同时考查推理论证和运算求解的能力，属于难题。

④ 2014年安徽理科21题：设实数c>0，整数p>1，n[∈]N[*].

（Ⅰ）证明：当x>-1且x[≠]0时，（1+x）[p]>1+px；

（Ⅱ）数列{a[n]}满足a[1]>c[1p]，a[n+1]=[p-1p] a[n]+[cp] a[n][1-p] .

证明：a[n]> a[n+1]> c[1p] .

本题第（Ⅰ）问，来源于课本选修2-2数学归纳法一节的例题，是大学数学中最常见的贝努力不等式，用数学归纳法简单证明。体现试题入口宽、面向全体考生的特点。第（Ⅱ）问，对考生的推理、证明能力，运算求解能力，分析解决问题的能力要求很高，绝大多数考生感到束手无策，但是此题并没有超纲。本题对于引导学生回归课本，改变死做题的学习方式，倡导理性思维、强化探究能力的数学教学与学习同样有很好的导向作用。同时与2012年安徽数学高考21题的解题思路基本一致，具有高等数学背景，是衔接初等数学和高等数学的一个极好题目，感知这种变化，在复习时加以重视。

三、突出几何直观

[?] 课程标准[?] 要求注重图形语言，多画一些几何图形，给我们带来的不仅是逻辑严密更是直观。在选择题中，图像问题常用到函数单调性、奇偶性、极值、特殊点处的函数值等。好的高考题通常都蕴含着丰富的几何背景。

例2 （2012年高考数学重庆卷理科第10题）设平面点集A={（x， y）颍y-x）（y-[1x]）[≥]0}，B={（x， y）颍x-1）[2]+（y-1）[2][≤]1}，则A[?]B所表示的平面图形面积为（ ）.

A [3π4] B [3π5] C [4π7] D [π2]

题中有考生熟悉的三个图形，圆（x-1）[2]+（y-1）[2]=1与y=[1x]均关于y=x对称，图中有美，美不胜收，题目把三个如此优美的曲线放在一起，让人喜欢上数学的图形美。即使不画出图形，按美学原理，从对称出发，只看选项就能选出正确答案D，这样的试题，能激起学生对数学学习的热爱。三个几何图形在课本中经常看到，体现高考源于课本，高于课本的命题思路。这样的考查对于教与学中重视基本几何图形的掌握有好的引导作用，要求我们对基本初等函数的图像和性质熟练掌握。

四、能正确体现基础与本质的关系

基础知识的概念与本质是两个不同的概念。做习题是为了更好地把握概念、定义、定理及性质的本质，若是只做题而不去思考把握问题本质，只会浪费复习时间，增加学习负担，若能重视对问题背后的数学本质的追溯，无疑能有效提高教与学的效率，培养学生的数学意识与数学能力。

例3 设[α]为锐角，若cos （[α] +[π6]）=[45]，则sin （2[α] +[π12]）的值为

这是江苏2012年高考理科第11题，很多教师认为这道题考查的是三角恒等变角技巧，并且强调角的变换是最重要的三角恒等变换之一。要注意将已知角与所求角，特殊角与一般角之间建立联系，然后选择恰当的三角公式，是解答此题的关键。由于技巧性太强对学生来说有一定的难度。这些看似强调基础知识和基本技能，但不是三角函数的本质。本题可以深入思考找到解题思路，由cos（[α]+[π6]）=[45]说明[α]+[π6]也是已知的，当然求值时要把目标角2[α] +[π12]转化为已知角，即2（[α]+[π6]）+[π12]-[π3]=2（[α]+[π6]）-[π4]。这样化未知角为两个已知角的思考，就抓住了问题的本质，三角函数是以角为自变量的特殊函数，是函数值与自变量之间的对应关系，而不是变角技巧。由此出发才能化未知为已知，找到解决问题最基本的思维方法。

五、重视阅读能力，处理新信息能力的考查

学生进入高校或者社会，能否继续发展，很大程度上取决于他们的学习能力，特别是阅读理解能力则是继续学习的前提。数学是一种语言，由于其高度抽象，符号众多，成了学生进入高校继续学习数学的障碍。近年高考对阅读能力的考查加大了力度，考点集中在符号语言，图形语言、文字语言、图表语言上。

例4 （ 2014年安徽高考理科数学15题）已知两个不相等的非零向量a， b，两组向量x[1]，x[2]，x[3]，x[4]，x[5]和y[1]，y[2]，y[3]，y[4]， y[5]均由2个a和3个b排列而成。记S= x[1][・] y[1]+ x[2][・] y[2]+ x[3][・] y[3]+ x[4][・] y[4]+x[5][・] y[5]，S[min]表示S所有取值中的最小值。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。

①S有5个不同的值；

②若a b ，则S[min]与OaO无关 ；

③若a∥b ，则S[min]与Ob O无关；

④若Ob O>4OaO，则S[min]>0；

⑤若Ob O=2Oa O，S[min]=8OaO[2] ，则a 与b 的夹角为[π4]。

此题是填空题的压轴题，要求学生对每个问题都能正确做出判断，一错则错，并且此题更是复合型题与信息题两者的完美结合，试题新颖且有创造性，对数学知识、数学方法的考查全面、深入。信息题它可以有效考查学生即时阅读、理解信息的能力，以及抽象概括信息与运用信息的能力；同时本题对数学思想方法的考查也很深入，主要考查分类讨论的数学思想方法和函数方程思想，属于难题。对于①讨论a ，b 有0、2、4组对应数量积，得到S最多有三个不同的值，①错；因为a ，b 是不等向量，所以S[1]-S[3]=2（a - b）[2]0， S[1]-S[2]=（ a - b）[2]0 ， S[2]- S[3]=（a - b）[2]0， 所以S[3]S[2]S[1]，故S[min]= S[3]= b [2]+4 a[・]b ，对于②，当ab 时，S[min]= b [2]，与OaO无关，②正确；对于③显然S[min]与ObO有关，③错误；对于④设a ，b 的夹角为[θ]，则S[min]= b [2]+4 a[・]b16OaO[2]+16OaOcos[θ]=16OaO[2]（1+ cos[θ]）≥0，故S[min]0， ④正确；对于⑤，ObO=2OaO，S[min]=8OaO[2]，所以cos[θ]=[12]，又[θ][∈][0，[π]]，所以[θ=π3]，⑤错误。

安徽省近几年的15题都是复合型填空题，阅读能力的考查要求很高，所以教学中要多多强调。本题是向量运算综合问题，主要考查向量的数量积运算、夹角公式、不等式性质。安徽高考在向量这个地方一直想创新，本题是个很新颖别致的问题，为2015年的高考提供了一个范例。

六、强调应用意识，体现数学文化价值，引导学生积极主动的学习

课标强调发展学生的数学应用意识，这种理念在近年的高考试题中体现的日渐鲜明。如安徽的2011年理科20题以进入核电站完成某项具有高辐射危险任务为背景的概率应用题；江苏包装盒的面（体）积与正方形纸板裁剪方式的函数关系应用题；这些试题背景考生了解，所用的知识方法又是考生应知应会的，考生能否解决问题，能体现他们关注生活，关注数学应用，运用数学知识分析和解决问题的能力，又充满了数学的文化价值与应用价值，使学生感觉到数学有用，激发学习数学的兴趣，让学生有积极主动学习的欲望，提高学习的主动性。

总之，研究高考题是获取考试信息的一个重要方式，多多研究，多多益善。同时还要时刻关注高考改革动向，收集整理高考备考信息。认真研读近几年的考试大纲，注意变化，往往变化的都会在当年的高考题中有所体现，比如今年的考试说明中几何概型的要求变化了，复习中就要多强调了；给定例题中多了新课标考题，所以不仅要研究本省的试题，近两年的课标卷，全国卷也要认真研究。这样就很好地抓住高考命题的规律，提高复习效率，赢得高考。