时间：2022-09-29 05:05:22
双曲线焦半径公式是双曲线的重要性质，在高考中时有考查，必须将它记住。但因左支、右支上的点以及左、右焦点的不同对公式右边符号均有不同的影响，符号的规律难于把握，很难记住，因此师生对此都深感头痛。尽管利用第二定义可以将焦半径公式推导出来，但在解题时很少有时间来推导。
那么，如何记忆双曲线的焦半径公式呢？笔者在教学中找到一种简单快速的记法，那就是口诀记忆法：“同负异正，左十右一，a前ex0后；同负异正，下＋上－，a前ey0后”。
我们知道，双曲线的标准方程有如下两类：一类焦点在x轴上，标准方程为：－＝1（a＞0，b＞0）
其图象如图（1）所示，
其焦半径公式如下：
（1）点P（x0，y0）在左支：
｜PF1｜＝－ex0－a
｜PF2｜＝－（ex0－a）
（2）点P（x0，y0）在右支：｜PF1｜＝ex0＋a
｜PF2｜＝ex0－a
另一类焦点在y轴上，标准方程为：
－＝1（a＞0，b＞0）
图象如图（2）所示，其焦半径公式如下：
（1）点P（x0，y0）在下支：
｜PF1｜＝－ey0－a，｜PF2｜＝－（ey0－a）
（2）点P（x0，y0）在上支：
｜PF1｜＝ey0＋a，｜PF2｜＝ey0－a
下面，我们先就焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式加以研究。
双曲线上的点分左支和右支上的点两种，双曲线的焦点分左焦点和右焦点两种。我们就左支上的点到左、右焦点的距离和右支上的点到左右焦点的距离，作如下分类和命名。
一类：左支上的点到左焦点的距
离（简称为“左左”），右支上的点
到右焦点的距离（简称为“右右”）。
这一类距离因其方位词相同称之为
“同”，即“左左，右右”为“同”。
如图（3）。
另一类：左支上的点到右焦点的距
离（简称为“左右”），右支上的点
到左焦点的距离（简称为“右左”）。
这一类距离因其方位词不同，称之
为“异”，即“左右，右左”为“异”，
如图（4）。
焦半径公式主要由a和ex0用不同符号连接而成，现在将焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式右侧作如下归纳、整理：
（1）先理清a和ex0的顺序，将a放在前面，ex0放在后面，即我谓之“a前ex0后”。
（2）将a和ex0按（1）所叙顺序放置在小括号内，得：（a ex0）。
（3）按焦点所在方位词（即左焦点中的“左”，右焦点中的“右”）确定连接小括号内的a和ex0的运算符号，编出口诀：“左＋右－”。“左＋”，即涉及左焦点的焦半径公式中用“＋”号连接a和ex0，也即对左、右支上的点P（x0，y0），｜PF1｜中均有：（a＋ex0）；“右－”，即涉及右焦点的焦半径公式中用“－”号连接a和ex0，也即对左、右支上的点P（x0，y0），｜PF2｜中均有：（a－ex0）。
（4）对小括号外面的符号，编出口诀：同负异正，“同负”，即“左左，右右”所在的焦半径公式中，小括号外为“－”号，也即对左支上的点P（x0，y0）有｜PF1｜＝－（a＋ex0），对右支上的点P（x0，y0），有｜PF2｜＝－（a－ex0）；“异正”，即“左右，右左”所在的焦半径公式中，小括号外为“＋”号，也即对左支上的点P（x0，y0），有｜PF2｜＝＋（a－ex0），对右支上的点P（x0，y0），有｜PF1｜＝＋（a＋ex0）。
如此一来，就得到口诀：“同负异正，左＋右－，a前ex0后”。下面，我把这些焦半径公式按如下步骤写出：
（1）左支：｜PF1｜＝（ ）
｜PF2｜＝（ ）
右支：｜PF1｜＝（）
｜PF2｜＝（）
（2）左支：｜PF1｜＝（aex0）
｜PF2｜＝（aex0）（a前ex0后）：顺序
右支：｜PF1｜＝（aex0）
｜PF2｜＝（aex0）
（3）左支：｜PF1｜＝（a＋ex0）
｜PF2｜＝（a－ex0）（左＋右－）：
连接a和ex0的符号
右支：｜PF1｜＝（a＋ex0）
｜PF2｜＝（a－ex0）
（4）左支：｜PF1｜＝－（a＋ex0）
｜PF2｜＝＋（a－ex0）（同负异正）：
括号外面的符号
右支：｜PF1｜＝＋（a＋ex0）
｜PF2｜＝－（a－ex0）
注：F1：左焦点，F2：右焦点，P（x0，y0）
焦点在y轴上的双曲线，可以看作是焦点在x轴上的双曲线逆时针旋转90°而成，因此，类似地可以得到焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式的口诀：“同负异正，下＋上－，a前ey0后”。
其中，“同”指下支上的点到下焦点的距离（简称“下下”）和上支上的点到上焦点的距离（简作“上上”），即“上上，下下”为“同”。“异”指上支上的点到下焦点的距离（简作“上下”）和下支上的点到上焦点的距离（简作“下上”）即“上下，下上”为“异”。
焦点在y轴上的焦半径公式按如下步骤写出：
（1）下支：｜PF1｜＝（ ）
｜PF2｜＝（ ）
上支：｜PF1｜＝（）
｜PF2｜＝（）
（2）下支：｜PF1｜＝（aey0）
｜PF2｜＝（aey0）（a前ey0后）
上支：｜PF1｜＝（aey0）
｜PF2｜＝（aey0）
（3）下支：｜PF1｜＝（a＋ey0）
｜PF2｜＝（a－ey0）（下＋上－）
上支：｜PF1｜＝（a＋ey0）
｜PF2｜＝（a－ey0）
（4）下支：｜PF1｜＝－（a＋ey0）
｜PF2｜＝＋（a－ey0）（同负异正）
上支：｜PF1｜＝＋（a＋ey0）
｜PF2｜＝－（a－ey0）
注：F1：下焦点，F2：上焦点，P（x0，y0）
以上，是笔者对双曲线焦半径公式的记忆规律作出的一点探索。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文