一道排列应用题的多种解法

【前言】一道排列应用题的多种解法由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。（2）甲担任文娱委员，乙不担任班长有：3·P33种分工方法. （3）乙担任班长，甲不担任文娱委员有：3·P33种分工方法. （4）甲担任文娱委员，乙担任班长只有：P33种分工方法. 因此，共有：P23·P33+3P33+3P33+P33=78（种）. 点评：这种解法是从限定“甲”、“乙”的条件直...

排列组合应用题由于逻辑性较强，又比较抽象，思考方法独特，又不好检验结果是否正确，所以学生解题时往往无从下手.

例如，在高中数学排列组合习题中有这样一道题：班委5人，分工担任班长、学习、体育、文娱、生活委员，其中甲不担任班长，乙不担任文娱委员，问有多少种分工方法？其实对于这类比较复杂的排列应用题，只要我们弄清它们之间的关系，利用排列知识，借助韦恩图、矩阵等知识来解，会给我们带来方便和多种解法.

现就此例谈谈解题方法.

解法1 （直接法）：因为甲不担任班长，乙不担任文娱委员，可以细分为下面几种情况：

（1）甲、乙两人都不担任班长和文娱委员，这时选班长和文娱委员有P23种方法，对于其中的每一种选法，再分配其他的工作有P33种方法，所以一共有：P23·P33种分工方法.

（2）甲担任文娱委员，乙不担任班长有：3·P33种分工方法.

（3）乙担任班长，甲不担任文娱委员有：3·P33种分工方法.

（4）甲担任文娱委员，乙担任班长只有：P33种分工方法.

因此，共有：P23·P33+3P33+3P33+P33=78（种）.

点评：这种解法是从限定“甲”、“乙”的条件直接出发把符合要求的选法分成四类考虑.这四类选法是并列的，所以不含有重复的选法，而且除这四类选法以外，找不到其他符合条件的选法，所以也不会有其他选法被遗漏.

解法2 （间接法）：如果没有限定什么条件，那么可以有P55种分工方法，其中不符合条件的有：

（1）甲担任班长的分工方法有P44种；

（2）乙担任文娱委员的分工方法有P44种.

但是，在这两类分工方法里都包含甲担任班长、乙担任文娱委员的分工方法.所以，不符合条件的分工方法有（2P44-P33）种.

因此，符合条件的排法为P55-（2P44-P33）=P55-7P33=120-7×6=78（种）.

点评：这种解法同理可把不符合条件的排法分成相互独立的三类：（1）甲担任班长，乙不担任文娱委员；（2）乙担任文娱委员，甲不担任班长；（3）甲担任班长，乙担任文娱委员，这样也可得到同样结果.P55-（P33·P13+P33·P13+P33）=P55-7P33=78（种）.它们都是先不考虑符合条件的，而是先考虑不符合条件的来解.

解法3 （特定法）：由于甲、乙的安排有特定要求，所以先考虑这两人的安排方法.

（1）甲、乙两人都不担任班长又不担任文娱委员，有P23种分法.

（2）甲当文娱委员乙不担任班长有P13种分法.

（3）乙当班长但甲不担任文娱委员有P13种分法.

（4）乙当班长、甲当文娱委员，只有一种分法.

所以，只就甲、乙这两人来说，合乎条件的排法有：P23+P13+P13+1=6+3+3+1=13种，故共有：13×P33=13×6=78（种）.

点评：这种解法是先从特定条件下来考虑，然后再考虑一般的，也是一种好方法.

解法4 （韦恩图法）：这种解法是借助韦恩图，首先设I={没有限定条件的5人分工方法}，则n（I）=P55种.（注n（I）表示集合I中元素的个数，以下类同）

点评：在解某些排列应用题时，像此例一样，适当地借助集合理论中的韦恩图，可使比较抽象的问题直观化，有利于我们正确地加以理解或找到解题途径.

解法5 （矩阵求阶法）：这种方法比较独特，简单，无需过多的分析.就是用占位置的方式来建立矩阵，即如果某人或某事物占某个位置就用“1”表示，不占某个位置就用“0”表示，建立一个矩阵.求出矩阵所有正行列式的阶数就是所求的答案.如上题先把五人分成甲、乙、丙、丁、戍五人来排位，建立矩阵.（注：排列不分先后）

点评：此解法简单易懂，分析少，在计算过程中能一眼看出非零正行列式的个数可省略过程.又不易出现错误，好检查，是一种值得推广的方法.

其实上述四种解法可解答课本上许多例题、习题、排列应用题.特别是后一种解法值得推广.当然，解法可能不只此五种，还需我们共同研究、探索.