“绝对值”绝对巧妙

绝对值是初中代数中的一个基本概念，一些比较复杂的数学问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，很形象直观，往往能取得事半功倍的效果.绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识.我们知道a的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离.例如-3表示数轴上-3表示的点到原点的距离.a-b的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离.例如x-3表示数轴上数x表示的点A到3表示的点B的距离，即x-3=线段AB的长 .（如图1）

下面我们就来学习如何用绝对值的几何意义解决一些比较“奇妙”的最值问题.

例1 已知x是有理数.

（1）求x-2+x+1的最小值；

（2）求x-2-x+1的最大值和最小值.

解：我们把数轴上表示x的点记为P. 由绝对值的几何意义知：

x-2表示P点到数2表示的点的距离（线段PB的长）；

x+1表示P点到数-1表示的点的距离（线段PA的长）.

（1）x-2+x+1表示P点到表示数2和-1两点的距离的和，要使和最小，则这点必在-1～2之间（包括这两个端点）取值（如图2所示）.

故x-2+x+1的最小值为3.

（2）x-2-x+1可以看做PB-PA的长.

① 当P在-1左边时其差恒为3；

② 当P在-1右边以及2左边时，其差在-3～3之间（包括这两个端点）；

③ 当P在2右边时其差恒为-3.

因此，x-2-x+1的最大值和最小值分别为3和-3.

上面的例1我们通过绝对值的几何意义把原本需要对绝对值分段化简再求最值的代数问题转化为几何中的线段计算问题，解法简捷、巧妙.

我们再用这种简捷巧妙的方法来解决下面的问题，看看有没有新的收获.

例2 （1）求x-1+x-2+x-3的最小值.

（2）求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值.

解：（1）由绝对值的几何意义知，x-1，x-2，x-3分别表示x到1，x到2，x到3的距离.由例1（1）的分析知，

x-1+x-3是在x处于1和3之间即当1≤x≤3时有最小值2.

又当x=2时x-2取最小值0，且2在1和3之间.

所以当x=2时，x-1+x-2+x-3有最小值2.

（2）根据绝对值的几何意义知，

x-1，x-2，x-3，x-4分别表示x到1，x到2，x到3，x到4的距离.

由例1（1）的分析知，x-1+x-4是在1≤x≤4之间有最小值3.

x-2+x-3是在2≤x≤3之间有最小值1.

所以x-1+x-2+x-3+x-4是在2≤x≤3之间有最小值4.

根据例2的两个小题，我们试着去思考，如果求x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的最小值呢？求x-1+x-2+x-3+…+x-n（n为正整数）的最小值呢？

我们来看下面的这个题.

例3 （2004·烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n>1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小.要解决这个问题先“退”到比较简单的情形.

如图4，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离.

如图5，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择.

不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置.问题：

（1）有n台机床时，P应设在何处？

（2）根据（1）的结论，求x-1+x-2+x-3+…+x-617的最小值.

解：当只有2台机床时，可以看做例1（1）的情况；当有3台机床时，可以看做例2（1）的情况；当有4台机床时，可以看做例2（2）的情况.可以发现当台数为奇数和偶数时，获得最小值的情况是不一样的：当台数是偶数时，P设在最中间的两台之间的任何地方；当台数是奇数时，P设在最中间的那台的位置.根据以上分析来解这题.

（1）当n为偶数时，P应设在第■台和（■+1）台之间的任何地方；

当n为奇数时，P应设在第■台的位置.

（2）根据绝对值的几何意义，求x-1+x-2+…+x-617的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点的距离之和最小.

根据问题1的结论，当x=309时，原式的值最小，最小值是95172.

从刚才这道中考题我们可以有很多收获.首先它给了我们一个研究数学问题的方法，那就是从特殊到一般的数学思考方法，通过开始的特例进行演绎，然后归纳到一般情况；第二就是要学会分类，不同的情况要有不同的说明.通过这题，我们已经可以解决例2中思考的问题.

通过上面几个例题的讲解，我们知道绝对值的几何意义的运用是一种简捷、奇妙的方法，应当充分重视.希望同学们在解决一些类似的比较复杂的问题时，能开阔思路，运用绝对值的几何意义，结合数轴直观形象地分析，这样往往能取得事半功倍的效果.