由一道习题引出的“无关”类问题

【摘要】A.与x，y，z的大小无关 B.与x，y的大小有关，与z的大小无关 C.与x的大小有关与y，z的大小无关 D.与x，y，z的大小都有关 【解析】先化简，结果中不含哪个字母，代数式的值就与这个字...

小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的■，我可以知道你计算的结果是2. ”你相信吗？请与同学交流.（义务教育教科书苏科版《数学》七年级上册第93页第18题）

解：设任意想的那个数为x，根据题意，得代数式■（2x+8）-■x，化简得2.所以这个代数式的值与x的取值无关，即x取任意一个数，这个代数式的值都是2.

在上面的问题中，列出的代数式是与x有关的，但化简后却不含有字母x，我们把这类问题称之为“与某个字母无关”的问题.下面举例说明这类问题的解法.

例1 多项式（xyz2+4yx-1）+（-3xy

+z2yx-3）-（2xyz2+xy）的值（ ）.

A.与x，y，z的大小无关

B.与x，y的大小有关，与z的大小无关

C.与x的大小有关与y，z的大小无关

D.与x，y，z的大小都有关

【解析】先化简，结果中不含哪个字母，代数式的值就与这个字母无关.

原式=xyz2+4yx-1-3xy+z2yx-3-2xyz2-xy=（1+1-2）xyz2+（4-3-1）xy+（-1-3）=-4，结果与字母x，y，z的大小无关，所以选A.

例2 有这样一道题：“当a=2013，b

=-2014时，求多项式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+2013的值.”小明说：本题中a=2013，b=-2014是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有a和b，不给出a、b的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪位同学的观点？请说明理由.

【解析】条件是否多余，关键看化简后的代数式是否含有字母a、b.

原式=（7+3-10）a3+（-6+6）a3b+（3-3）·a2b+2013=2013，结果不含有a、b，所以小明同学的观点正确，本题中a=2013，b=-2014是多余的条件.

例3 已知代数式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-1的值与字母x的取值无关，求a和b的值.

【解析】因为代数式的值与字母x的取值无关，所以合并同类项后x2和x项的系数必为0，从而可求出a和b的值.

原式=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+5，所以2-2b=0，a+3=0，即a=-3，b=1.

由上可见，“无关”类问题是整式加减中的一类重要问题，解决这类问题的基本步骤是：先化简题目给出的代数式，再看化简后的结果中不含有哪一个字母，则这个代数式的值就与这个字母无关.“无关”类问题主要有：（1）直接说明“无关”，如例1；（2）间接说明“无关”，如例2；（3）直接应用“无关”，如例3；（4）间接应用“无关”，如下面的练习题.

练习 已知P=■m-1，Q=m2-■m（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）.

A. P >Q B. P =Q

C. P