妙用绝对值的性质解题

【前言】妙用绝对值的性质解题由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。在解题时，若能灵活运用以上这些性质，可使解法奥妙无穷，下面举例说明. 一、绝对值的计算和化简 正确去掉绝对值符号是解决这类问题的关键，切记：去绝对值符号前必须先考虑绝对值符号内的数是正数、零，还是负数？如是负数，去掉绝对值符号后，一定要在原数前加上一...

由绝对值的概念，我们不难得出绝对值有以下重要性质：

（1）正数和0的绝对值是它本身， 即非负数的绝对值是它本身.

（2）任何一个数a的绝对值都是非负数，也就是说，任何一个数的绝对值都不小于0，即|a|≥0，也就是说绝对值的最小值是0. 由此可知非负数有一个重要性质：几个非负数的和为零，则必有每个非负数为零. 即若|a|+|b|+|c|=0.则a=0，b=0，c=0

（3）任何一个数a的绝对值都不小于这个数a，也不小于这个数a相反数.即|a|≥a，且|a|≥-a.

（4）特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数，写作|0|=0.

在解题时，若能灵活运用以上这些性质，可使解法奥妙无穷，下面举例说明.

一、绝对值的计算和化简

正确去掉绝对值符号是解决这类问题的关键，切记：去绝对值符号前必须先考虑绝对值符号内的数是正数、零，还是负数？如是负数，去掉绝对值符号后，一定要在原数前加上一个“-”号.

例3 已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图1所示，且|a|>|b|，则|a+b|=（ ），|a+c|=（ ），|c-a|=（ ），|a-c|=（ ），|c-b|=（ ），|b+c|=（ ）

分析：由图可确定a、c为负数，b正数，根据 |a|>|b|，可知在数轴上a的位置离原点比b的位置离原点远，于是可确定a+b、a+c、a-c、c-b是负数，c-a、b+c是正数，根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，这样就可得出答案.

答案：-a-b，-a-c，-a+c，-c+b， c-a，b+c.

例4化简︱1+︱1+x||（x

解：因为x

所以︱1+︱1+x||=︱1-（1+x）︱=︱-x︱=-x.

二、由已知某数的绝对值求某数（某数的范围）

解题的关键是：对绝对值符号内的数可能是什么数，要仔细分析，全面考虑.

例5若︱a︱=2016，︱b︱=2.求a+b的值.

解：因为︱a︱=2016，︱b︱=2. 所以a = ± 2016， b = ± 2

当a=2016， b=2时， a+b=2018.

当a=2016， b = –2时， a+b=2014.

当a=-2016， b = –2时， a+b=-2018.

当a=-2016， b = 2时， a+b=-2014.

例6有理数x-2到有理数-1的距离是3，有理数y+1到3的距离是5，且x>y，求x+y和x-y的值.

分析： 在数轴上，到有理数-1的距离是3的有理数有两个，一个-4，另一个是2，即x-2=-4或x-2=2；到3的距离是5的数也有两个，一个是-2，另一个是8，即y+1=-2或y+1=8.

解：依题意得

x-2=-4或x-2=2， y+1=-2或y+1=8.

解得x=-2或x=4， y=-3或y=7.

因为x>y， 所以x=-2，y=-3 或x=4，y=-3.

故x+y的值为-5 或1. x-y的值为 1 或7.

三、求最值

例8设A=|x-b|+|x-10|+|x-b-10|，其中0

（A） 10 （B） 15 （C） 20 （D） 不能确定

解：由已知条件，b≤x≤10

则A=（x-b）+（10-x）-（x-b-10）=20-x.

因为x的最大值为10，

所以A的最小值为20-10，即10.选（A）.

[哈尔滨师范大学数学科学学院 （150025）]