在研究函数性质中稳健用好导数工具

摘 要：培养学生运用数学知识解决数学问题的能力是数学教育工作者的重要目标，其中学生的解题能力是考察学生数学知识和能力水平的综合评价指标。本文通过对导数知识研究函数性质的部分类型试题的分析，总结出一种解决此种类型题的解题策略，以此希望能对学生在解决此类习题能力上有所提高，并能在解题思考方法上起到一定的借鉴作用。

关键词：函数； 导数； 函数的单调性

中图分类号：G633.66 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）04-012-002

导数的概念起源于几何学中的切线问题及力学中的速度问题，从而引入函数的导数定义。反过来，导数最重要的价值，就是导数是一种方便研究函数性质的工具，比如求曲线的切线，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，恒不等式问题等等。作为一个重要的工具，导数运算一定要准确，特别注意的是分式、对数式、复合函数的求导结果要进行演算之后再进行下一步的运算。从近几年的高考压轴题中，足可见导数在研究函数性质中的重要性，下面用几例高考考题来深刻剖析运用导数工具研究函数性质的过程中注意的具体问题，总结出相对应的解题策略，从而让学生更好地掌握用导数工具研究函数性质这种方法。

即g（x）在（0，+∞）上单调增加，根据g（x）的单调性可得如下结论

当x1>x2>0时，有g（x1）>g（x2），易得题中结论；

当x2>x1>0时，有g（x1）

例2（2010年辽宁理科21题）已知函数f（x）=（a+1）Inx+ax2+1

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设a

通过对近四年辽宁高考数学试题中关于运用导数工具研究函数性质的分析思考，可以清晰地总结出基本的解题策略（1）关注函数f（x）的定义域（它是研究函数其它问题的前提）；（2）正确求出函数f（x）的导数f'（x）是解题的关键（此处要对导数结果进行演算无误后再进行下一步）；（3）对f'（x）中的因式进行分解（注意因式分解的技巧）；（4）讨论f'（x）的值得出函数f（x）的单调性（此处要抓住f'（x）式子中的关键因式细致分析，不要遗漏）；（5）构造新函数g（x）（往往利用结论形式或结论的变形来得到新函数g（x）的解析式）；（6）正确求出函数g（x）的导数g'（x）（此处也要注意g'（x）的结果不许有误）；（7）讨论g'（x）的值，利用g（x）的单调性得到结论（此处是题的难点，常用方法有分离参数求最值，均值不等式转化条件，函数值为0时的点，巧设自变量值为求证结论搭桥等）。总之，在运用以上解题策略时，要求使用者在运用中要步步细致，环环相扣，这样才能在运用导数工具研究函数性质的复杂问题时取得预期的效果，发挥出解题策略的价值。

参考文献：

[1]2012年普通高等学校招生全国统一考试试题及参考答案[M]大连：辽宁师范大学出版社，2012.6：32，37

[2]刘庆华.硕士专业学位研究生入学资格考试数学考前辅导教程[M]北京：清华大学出版社，2005.6

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M] 北京：高等教育出版社，1980.9：108