平面上的无穷级Dirichlet级数的超级

摘要： 本文对平面上的无穷级Dirichlet级数进行了深入的研究，并且得到了超级与它系数之间的一个关系，即本文中的定理。

Abstract： This paper in-depth studied the hyper-order of dirichlet series of infinite order in the plane, which got a relationship between the hyper-order and coefficient, namely the theory in this paper.

关键词： Dirichlet级数；级；无穷级；超级

Key words： dirichlet series；order；infinite order；hyper-order

中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）35-0227-02

0引言

关于无限级Dirichlet级数的超级的研究，在文献[1]已经取得一些研究成果，即在无限级Dirichlet级数的超级与它们的系数之间的关系方面。本文也讨论了无限级Dirichlet级数的超级与它们的系数之间的关系，并且得到一个充要条件，即本文的定理。

1预备知识

设Dirichlet级数

f（s）=se（s=σ+it）（1）

满足条件0λ+∞，及=E

则级数（1）在全平面内收敛，f（s）表示一个整函数。σ∈R，我们分别记f（s）的最大模与最大项为：M（σ）=M（σ，f）=sup{f（σ+it）:t∈R}；m（σ）=m（σ，f）=max{ae：n∈N}。

定义1 对于级数（1）的级定义为ρ=。

若ρ==+∞，则称级数（1）为无穷级Dirichlet级数。

定义2 无穷级Dirichlet级数f（s）在全平面的超级ρ2定义为

ρ=

引理1[1] 设平面上的无穷级Dirichlet级数（1）满足条件=d

引理2 设b与c正的常数，则函数g（x）=e-bx在x满足条件eecx=b时取最小值。即ming（x）=e-eecx。其中满足条件eecx=b。

证明：由于g（x）=e-bx，g′（x）=eec-b，g″（x0）>0，其中x0是eecx=b的根，从而得到引理的证明。

引理3 设b与c正的常数，则函数g（x）=bx-在满足条件b=ln lnx+，并且x>e时取最大值。即max g（x）=，其中x满足条件b=ln lnx+。

证明:由于g（x）=bx-，g′（x）=b-ln lnx+，g″（x0）

2主要结果

定理. 设平面上的无穷级Dirichlet级数（1）满足条件（2），则

=ρ=-∞，当ρ=0时-，当0

证： 必要性（00，当-σ>-σ0时，有ln m（σ）

令y（-σ）=e+λσ。由引理2就得到它的最小值，最小值为e+σee（ρ+ε），注意其中-σ满足λ=ee（ρ+ε）（显然-σ+∞λ+∞）。以下也如此，那么对充分大的n，令-σ满足λ=ee（ρ+ε）时，有lna

令y（-σ）=--λσ由引理3得到它的最大值为，取λ满足-σ=ln ln λ+（显然-σ+∞λ+∞）。从而得到lna- λσ

充分性，由=-得到>0，n充分大以后有，

同理可证ρ=0与ρ=+∞的情形.

参考文献：

[1]陈聚峰，张静.平面上无限级Dirichlet级数的正规超级.石家庄铁道学院学报，2005，12.

[2]余家荣，丁晓庆.田范基Dirichlet级数与随机Dirichlet级数的值分布.武汉大学出版社，2004，39.

[3]孙道椿.Dirichlet级数的级[J].华南师范大学学报，2001，（3）.