抓住规律 找准关系 建立模型

摘 要：从“具体的数”到用“字母表示数”；从对“数量”的理解到对“关系”的探讨，对于小学生来说这一抽象过程的实现有巨大的“思维鸿沟”，只有关注数量关系中的常量与变量的规律，才能真正建立用字母表示数的数学模型，实现由算术思维迈向代数思维的历史性跨越。

关键词：数量关系；分析思维；用字母表示数；符号；课例

一、研究背景

1.历史背景

从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，数学家们用了1200余年。在40分钟的小学数学课堂中又怎样来实现这样伟大的人类认知提升呢？

2.价值背景

《用字母表示数》这节教学内容有两个重点：用字母表示数；用含有字母的式子表示数量关系。那么《用字母表示数》有什么数学教学价值呢？“用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃；从数到代数是数学表征的一次飞跃，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而用字母表示数又是一次抽象。”

3.现实背景

小学生以具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主过渡，而抽象逻辑思维在很大程度上依赖于感性经验直接相联系的，从上面的描述中可以看出数据符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，而用字母表示数形成的代数式是对数据符号的再次抽象概括，这种“认知的飞跃”与小学生的思维特点成为课堂教学的矛盾体。因而对于小学生来说，从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，初步体验符号在数学中的作用（形式简洁、高度概括），进而建立用字母表示数的数学模型具有一定的挑战性。这种由算术思维迈向代数思维的历史性跨越给一线老师的课堂教学带来了更大的困惑，如下面的一位数学老师就遇到了这样的尴尬局面。

在上《用字母表示数》这节课快结束时，老师让学生唱“青蛙歌”，而学生的青蛙歌却是：n只青蛙，n张嘴，n只眼睛，n条腿。

二、深入思考

1.在对比中感受字母表示数的概括性――符号初体验

情景回放：第一环节

老师呈现了CCTV、AHTV这些电视台的台标。旨在说明：可以用字母表示汉字；接着呈现扑克牌。旨在说明：用字母可以表示数字。因为对应11，对应12，对应13。

思考：貌似情景创设来源于生活实际，但是11=J；12=Q；13=K，这些符号仅代表特定的数，字母与数之间存在一一“对等”的关系。这里J代替11，Q代替12，K代替13。用字母“表示”数的过程，不是字母“代替”数的过程，这个引入与字母表示数具有概括性是相悖的。反而增强了学生用字母表示数的随意性，因而上述老师创设的情景是没有价值的，未能抓住数学的本质，与字母表示不确定的数，变化的数，有着本然的区别。还需要强调的是老师在这里没有说明生活中的字母运用和数学中一些单位的字母表示只是完整说法的缩写。如：AHTV是（ANHUItelevision）的缩写，而其创始人是丢番图。

情景回放：第二环节

师：一只青蛙，一张嘴。（让全班同学接着说）

生1：两只青蛙，两张嘴

生2：3只青蛙，3张嘴……（这样如此下去，全班23人，一直说到23只青蛙，23张嘴。）

师：若有a只青蛙，就有（ ）只嘴。

生3：a张嘴。

思考：看似学生对有具体的数过渡到用符号表示数实现了有效的衔接，但从后续的学习可以看出却不以为然。在这个活动情景中，老师直接给出a只青蛙，这种思维的代劳严重阻碍了学生创造能力的提高，即使答案出来了，学生也没有真正意义上的理解，这个过程中事实上是学生根据具体数据进行类推得到的结果，这是不利于学生的思维充分想象的，我们需要这样的引导：你能把全世界的青蛙都说进去吗？或者你能用一句话，把这些永远说不完的情况都“概括”进去吗？在数学中什么具有这样的能力呢？自然产生了用字母表示数的必要性。这里老师还要引导学生观察与思考：a与a什么关系？让学生体会同等条件下同样的字母表示同一个数，这里表示青蛙的只数与青蛙嘴的个数是一样。这是从个别上升到一般的抽象化过程。经历具体到抽象，理解从确定到可变。因而就本课而言应该逼近学生让他们体会用字母表示数的概括性。老师应抓住这个场景作为依托，让学生产生联想，并能够理解与表述自己的数学思想，而不轻易带过，需要老师利用问题不断地追问，以探寻学生真切的认知。

我们还可从北师大（四年级下册85页）的教材中可以找到例证：

如：将青蛙的只数与嘴的张数建构一一“对应”的关系；而且这里的n表示不确定的数，并且涵盖所有的自然数，具有极大的概括性。

不难看出，教材是通过具体的实际问题，然后改变具体的数量，进而引出用字母表示其中的数，体会字母表示数的概括性。

可是，通过一、二环节的教学，老师没有对用字母表示数的两种不同方式进行强烈而有效的对比，而将音节的缩写水平（创始人是丢番图）与符号概括水平（创始人是韦达）的运用混为一谈，特别是字母的概括作用不能得到强烈的彰显，思维留下的刻痕就非常浅显。我们需要在对比中将“字母表示数”的新意（字母的概括作用）融入学生的知识结构体系中，实现无缝建构，体会字母符号的新感觉――概括性。

2.由“数量”的关注到“关系”的思考――建立符号意识

情景回放：第三环节

师：你们今年11岁，老师今年39岁。老师比你们大28岁。这样形成了：11+28=39，（老师板书）

师：那么当你们12岁时，我的年龄是多少？

生1：板书12+28=40；

师：当你们是13岁时，老师多大？

生2：板书：13+28=41

师：当你们是14岁，老师多大？

生3：板书14+28=42

老师引导：当你们是a岁时，老师是几岁？

生4：回答是a+b=c岁。

思考：具体情景能激活学生已有积淀的算术层面对数量关系的理解，支撑学生在代数层面对数量关系的理解。而学生的思维定式：列出算式一定要算出确定的结果。如果老师没有把关注点放在引导学生从直观表格上观察找出规律，分析师生间年龄的数量关系上，那么就无法实现由数量到关系的过渡，更无法实现符号的进一步抽象，这时，老师应当和孩子们一起列出表格如下图：

引导学生观察，并思考：在此过程中，哪些变了？哪些没有变？（观察数据变，而关系不变）在学生发现28是常量的情况下，在将学生思考引向深入，（1）当你们a岁时老师应该是多少岁？28+a。这里的字母a概括了学生的年龄。（2）老师a岁，你们的年龄是a-28（注意：这里建构的是加的关系）这种逆向的思考进一步强化了学生对数量关系的理解。（3）为了凸显未知数取值的范围，可以引导学生思考这里的a可以是200吗？为什么？（4）而更为深度的认知是：用字母表示数不仅可以看出数量之间的关系，还可以表达一个结果；这种含有字母的式子既能看作一个过程，更能看作一个对象；是抽象性关系与确定性的统一。因而可以形成以下的关系图：

我们也可从苏教版（四年级下册P106）中得到启示。

不难看出，这里是将字母放在有序的数量关系中进行引导。由具体的、确定的数向抽象的、不确定的数跨越。并且“（24+ ）人”表示用字母表示的式子可以代表一个结果。这种由具体式子的“类推”向“关系”思维的跳跃需要老师站在较高的认知平台上抓住数学本质，还需要老师搭建多元的“脚手架”，便于孩子们积极努力地实现由算术思维向代数思维的过渡。这种由固定值向非固定值的关注更需要老师做有效的引导，从而实现用符号表达数学思想的意识。

3.在数量关系中找规律建立模型――实现符号化

情景回放：第四环节

老师让学生用小棒摆成三角形，然后交流根数与三角形个数，师并板书：三角形的个数 小棒的根数。

此时老师引导：要摆a个三角形，需要多少根小棒？

思考：老师仍旧没有给出直观的规律表格，只是将个数与根数实现对应，这种对应是“离散”的，更没有展现过程，所以学生无法看出三角形个数与小棒的根数之间的内在“关系”。

教师应引导建立上述表格，并引领着学生观察、思考：此表中什么变了？什么没有变？（观察数据变，而关系不变）即把关注点放在对数量关系的研究与思考上。当需要摆无数个三角形时，需要多少根小棒？因为有上面的思考经验应该会自觉利用符号进行交流。需要3n根小棒，并让孩子们说说3n的意义，这里3n不仅表示所需的小棒数是三角形个数的3倍关系，还能再现搭n个三角形所需的小棒为3n根。让学生再次感受字母可以概括所有三角形；而用一个含有一个字母的式子可以概括所有需要小棒的根数。而此处建构的是倍数关系，同时体会用字母表示数的作用――简洁性、概括性。

因而，从“过程层面”到“关系层面”的过渡，是实现具体到抽象的载体。学生应该在这个环节中实现符号化陈述能力的进一步发展。体验用符号表征数学问题的必要性和优越性。正因为缺乏老师对“假设字母要大胆，表示关系要小心”有意注意的引导；正因为没有直观建立这样的等量关系；正因为缺少“把一直变化的量用字母表示，不变的量照写”这种方法的指导。所以学生在第五环节出现了尴尬的境地，产生了前文所述的“残蛙”情景：

生：唱“青蛙歌”： 1只青蛙，1张嘴，2只眼睛，4条退。

2只青蛙，2张嘴，4只眼睛，8条退

3只青蛙，3张嘴，6只眼睛，12条退

师启发：若有n只青蛙，（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条退。

于是学生唱出：n只青蛙，n张嘴，n只眼睛，n条退。

老师咨询学生为什么都是n呢？

学生的回答是：用字母可以表示任何数。

启示：用符号来表示具体情景中隐含的数量关系和变化规律，需要进行思维分析，因而，数量关系的分析是建构代数思维的载体，没有分析思维的出现就没有代数思维的真正建立。“用字母表示数”不是代数思维的惟一表征。没有分析性思维则无法建构用字母表示数的真正内涵。

“用字母表示数”是一个动态形成的过程，这节课的数学本质是引导学生弄清两个相关联的数量，可以用一个字母表示其中一个数量，用含有字母的式子表示另一个数量。而数量关系和变化规律是连接这两个数量的纽带。所以我们必须借助现实情景和简单数量关系的分析，理解用字母表示数的意义，依托具体数量感受字母的概括性―抓住规律―找准关系―建立模型，这种由现实问题到数学模型的建立正是纵向数学化的过程。而在此过程中感受字母的概括性―抓住规律―找准关系则是实现学生思维抽象化发展不可逾越的环节。虽然这个过程是艰难的，但作为老师应该有这个意识和思想为孩子的思维进一步发展架起桥梁，使自己的数学课堂飞得更高一些。

参考文献：

[1]张齐华.“用字母表示数”教学实录与反思[J].小学教学，2008（7）：84-87.

[2]宣春蕾.关注需求充分预设突破难点[J].教学月刊，2013（11）：24-27.

[3]徐向颖，臧萍.助学生完成认知的飞跃[J].小学数学教与学，2014（6）：14-18.

[4]张丹.如何理解和发展代数思维：读早期代数思想的认识论、符号学及发展问题有感[J].小学教学，2012（11）：5-7.

作者简介：吴绪益，男，1978年出生，安徽霍山人，下符桥镇地税希望小学高级教师，本科，六安市第三届教坛新星（2008）、六安市第三届骨干教师（2014），研究方向：小学数学教育教学。