大学文科数学中求不定积分的几种基本方法

摘 要： 高等数学是大学的一门重要学科，微积分是高等数学的核心内容.不定积分与定积分是本学科的重要章节，而不定积分是定积分的基础，因此掌握好求不定积分的方法，对高等数学的学习起着至关重要的作用.

关键词： 大学文科数学 不定积分 求解方法

高等数学是大学的一门重要学科，学生对本门课程学习掌握的情况，将会影响到后继的其他学科的学习.不定积分是高等数学的一个重要章节，它是定积分、二重积分、三重积分等内容的基础，因此求不定积分的方法，对于本门课程的学习有非常重要的作用.

一、求不定积分时存在的问题

当学完不定积分这一章后，综合做题时，学生往往不知道该用什么方法求不定积分，学过的方法此时变得似是而非，甚至无从下手.

二、如何解决求不定积分时束手无策的问题

（一）学握不定积分的运算法则

1.？蘩kf（x）dx=k？蘩f（x）dx？摇？摇（k为不为0的常数）

2.？蘩[f（x）±g（x）]dx=？蘩f（x）dx±？蘩g（x）dx

（二）记住不定积分的基本公式

（三）掌握不定积分的几种基本方法

1.直接积分法：即通过适当的变形及利用不定积分的运算法则、公式，求出不定积分的方法.

2.第一换元法（也叫凑微分法）

若F（u）为f（u）的原函数，则？蘩f[（x）]φ′（x）dx=？蘩f[φ（x）d[φ（x）]=F[φ（x）]+c

此种方法被称为第一换元法（凑微分法），其中φ（x）可微.

例1：求？蘩sin3xdx=■？蘩sin3xd（3x）=-■cos3x+c

利用凑微分法，最好不要换元，因为换元后还需原变量，显得更麻烦.

3.第二换元法（包含无理代换法、三角代换法）

设函数x=φ（t）单调可导，且φ（t）≠0，

若？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+c，

则？蘩f（x）dx=？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F[φ-1（x）]+c

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函数.

以上方法，被称为第二换元法.

（1）无理代换法

当最简根式中被开方式子里的变量的最高次数是1次时，用此法.令整个根式为新的变量，当然，若在被积函数中，同时出现几个根指数不同的最简根式，则令最大根指数的那个根式为新的变量.

例2：求？蘩■dx

解：令■=t，即x=t■，则dx=2tdt

原式=？蘩■・2tdt=2.2tdt=2？蘩■dt

=2？蘩（1-■）dt

=2t-2ln（t+2）+c=2■-2ln（■+2）+c

（2）三角代换法

当被积函数中有最简根式，并且被开方式子中的未知数的最高次数2次时，即令未知数为一个恰当的三角函数，利用三角函数的恒等变形将根号去掉，再进一步求出不定积分，此种方法被称为三角代换法.此情况下若用无理代换法，则行不通.

例3：求？蘩■[1]

解：令x=asint（或acost），则dx=acostdt

原式=？蘩a・cost・acostdt=a■？蘩cos■tdt

=■？蘩（1+cost）dt

=■t+■sin2t+c

=■t+■2sint・cost+c

根据x=asimt（acost）作辅助三角形如下图：

得原式=■・arcsin・■+■x■+c

4.分部积分法

利用公式？蘩udv=uv-？蘩vdu进行积分的方法被称为分部积分法，此种方法的关键是正确选择u、v，一般原则是：使？蘩vdu要比？蘩udv更容易积出.

例4：？蘩arcsinxdx=x・arcsinx-？蘩xd（drcsinx）

=xarcsin-？蘩■dx

=xarcsinx-■？蘩（1-x■）■dx■

=xarcsin+■+c

（四）记住一些常用的凑微分的技巧

总之，求不定积分时要针对不同的被积函数选择适当的方法，当然，有些不定积分不但需要运用一些灵活的做题技巧，而且需要综合运用多种积分方法才能求出结果.对于大学文科的学生，只要掌握好以上计算方法，基本上就可以了.

参考文献：

[1]沈聪.高等数学.首都经济贸易大学出版社，2010.5.

[2]张国楚，张如生.大学文科高等数学.高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学.高等教育出版社，2000.3.

[4]华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社，1998.6.