运用三角函数的单调性拯救“ω”

回眸近几年的高考题，三角函数的单调性是高考经常光顾的一个“风景点”之一.

如何来学好这一内容呢？让我们先来看看如何运用三角函数的单调性拯救ω.

同学们首先要对知识要点“三角函数在某特定区间上的单调性”了然于心，如果对于应用还不灵活，那么让我们去找解题规律吧！

例1 （2011年山东卷）若函数f（x）=sinωx（ω>0）在区间［0， ］上单调递增，在区间［，］上单调递减，则ω=（）

A.3 B.2 C. D.

解析 （解法一） 因为f（x）=sinωx（ω>0）过原点，所以

当0≤ωx≤，即0≤x≤时，f（x）=sinωx是增函数；

当≤ωx≤，即≤x≤时，f（x）=sinωx是减函数．

由f（x）=sinωx（ω>0）在区间［0，］上单调递增，

在区间［，］上单调递减，知=，则ω=.

（解法二）设t=ωx，则g（t）=sint在区间［0，ω］上单调递增，在区间［ω，ω］上单调递减，函数在t=ω处取得最大值1，所以1=sinω，则ω=，故ω=.

评注 在三角函数的解题过程中，我们常常会出现自己觉得很有道理但结果却是错误的情况.其中一个非常重要的原因，是忽视了三角函数中的隐含条件的利用.此题的隐含条件是f（x）=sinωx（ω>0）过原点，那么在区间［0，］上单调递增，在区间［，］上单调递减就圈定在一特定的区间内了，问题就容易解决了.

变式1 函数f（x）=2sinωx（ω>0）在上［0，］单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=________.

解析 因为f（x）=2sinwx（ω>0）在上［0，］上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω=，且0

例2 （2013年上海卷）已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω>0，若y=f（x）在［-，］上单调递增，求ω的取值范围.

解析 （解法一）因y=sinx在每个闭区间［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）上为增函数，

所以f（x）=2sinωx（ω>0）在每个闭区间［-，+］（k∈Z）上为增函数.

依题意知［-，］［-，+］对某个k∈Z成立，此时必有k=0，

于是-≥-≤，解得0

（解法二） 因为ω>0，设t=ωx，则g（t）=2sint在区间［-ω，ω］上单调递增，则［-ω，ω］［-，］，则需满足-ω≥-ω≤，解得0

（解法三） 由函数f（x）=2sinωx（ω>0）在［-，］上单调递增，则

f′（x）=2ωcosωx≥0在［-，］上恒成立，又ω>0，则cosωx≥0，

所以［-ω，ω］［-，］，于是-ω≥-ω≤，解得0

评注 解答本题要注意三点：（1）注意隐含条件函数关于原点对称.（2）解法一直接求函数f（x）=2sinωx的单调区间，利用给定区间［-，］［-，+］给k赋值即可；解法二逆向思维利用换元法，求出新函数g（t）=2sint的单调区间，此后还是利用所给区间是整体单调区间的子区间来做.（3）解法三转化为函数在某区间上恒成立问题，建立函数与不等式的关系，借助图象解三角不等式，最后检验解的合理性.

变式2 （2012年重庆卷）设f（x）=4cos（ωx-）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω>0，

（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域；

（Ⅱ）若f（x）在区间［-，］上为增函数，求ω的最大值.

解析 （Ⅰ）f（x）=4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx

=2sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx

=sin2ωx+1.

因为-1≤sin2ωx≤1，所以函数y=f（x）的值域为［1-，1+］.

（Ⅱ）因为y=sinx在每个闭区间［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）上为增函数，

所以f（x）=sin2ωx+1（ω>0）在每个闭区间［-，+］（k∈Z）上为增函数.

依题意知［-，］［-，+］对某个k∈Z成立，此时必有k=0，

于是-≥-≤，解得ω≤.

故ω的最大值为.

评注 要解决一个新问题，常常采用由生疏到熟悉，由复杂到简单等的转化策略，使问题获得解决．那么，遇到“在非特定区间上的单调性”再和上面题目那样做，问题不就迎刃而解了，仔细思考往往能使问题绝处逢生，找到求解的新途径.

例3 （2012年新课标卷）已知ω>0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）

A．［，］ B．［，］ C．（0，］ D．（0，2］

解析 （解法一）特殊值法

ω=2（ωx+）∈［，］不合题意，排除D.

ω=1（ωx+）∈［，］不合题意，排除B、C.

另：ω（π-）≤π?圳ω≤2，（ωx+）∈［ω+，πω+］［，］，

得：ω+≥πω+≤，解得≤ω≤.

（解法二）因为ω>0，设t=ωx+，

所以g（t）=sint在区间［ω+，ω+］（k∈Z）上单调递减，

所以［ω+，ω+］［+2kπ，+2kπ］，则需满足

ω+≥+2kπ（k∈Z）ω+≤+2kπ（k∈Z）≥π，即ω≥+4k（k∈Z）ω≤+2k（k∈Z）0

（解法三）因为y=sinx在每个闭区间［+2kπ，+2kπ］（k∈Z）单调递减，

所以f（x）=sin（ωx+）（ω>0）在每个闭区间［+，+］（k∈Z）上单调递减.

依题意知（，π）［+，+］则需满足

≥+（k∈Z）π≤+（k∈Z）≥π，即ω≥+4k（k∈Z）ω≤+2k（k∈Z）0

（解法四）因为函数f（x）=sin（ωx+）（ω>0）在（，π）上单调递减，

所以f′（x）=ωcos（ωx+）≤0在（，π）上恒成立.

又ω>0，则cosωx≤0，所以［ω+，πω+］［2kπ+，2kπ+］，则需满足

ω+≥2kπ+（k∈Z）πω+≤2kπ+（k∈Z）≥π，即ω≥+4k（k∈Z）ω≤+2k（k∈Z）0

评注 此题主要考查函数f（x）=Msin（ωx+φ）的性质，兼考查分析思维能力，要求对基本函数的性质能熟练运用，解决本题关键是要考虑单调区间即周期.解法一对选择题适用，取特殊值可降低难度，简化运算．解法三逆向思考通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略.解法四不等式与函数是互相联系的，利用函数与不等式之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．

变式3 已知ω>0，函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）

A．［，］ B．［，］ C．（0，］ D．（0，2］

解析 由2kπ≤ωx+≤2kπ+π，k∈Z，解得-≤x≤+.

又因为函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递减，

则（，π）［-，+］，所以需满足

≥-（k∈Z）π≤+（k∈Z）≥π，即ω≥4k-（k∈Z）ω≤+2k（k∈Z）0

总之，解题时，要充分发掘题设特征，多思考，多反思，多总结. 若能灵活地应用有关知识和技巧解题，则无疑可起到事半功倍之效．