以习题为“本”,变式、拓展为“源”

【摘要】 新课程改革已经好几年了，如何专注高效课堂，关注有效教学，提高教学质量，归根结底还得落实到我们一线的教师身上，作为一个有着快十年教龄的青年教师，我感觉要向课堂要效益，得充分发挥课本例题、习题的“本源”作用，深挖变式拓展，注重数学知识的总结与归纳，提高同学们的学习效率.

【关键词】 习题；有效教学；变式

在人教A版第一章的第三节“函数的基本性质”后，课本P39习题B组第一题：

已知函数f（x） = x2 - 2x，g（x） = x2 - 2x （x∈[2，4]）.

（1）求f（x）、 g（x）的单调区间；

（2）求f（x）、g（x）最小值.

析：由图像可知f（x） = x2 - 2x单调递增区间（-∞，1），f（x） = x2 - 2x单调递减区间（1，∞），f（x） = x2 - 2x的最小值为f（-1）=-1.

析：由图像可知g（x） = x2 - 2x （x∈[2，4]）的单调递增区间[2，4]，无单调递减区间.

g（x） = x2 - 2x（x∈[2，4]）的最小值为g（2） = 0.

以上是闭区间一元二次函数求最值，其本质是“轴定区定”类型，利用单调性很容易求出，不再叙述.

已知函数f（x） = 4x2 - kx - 8在[5，20]上具有单调性，求实数K的取值范围. （P44第9题）

分析：这是一个典型的“动轴定区间”的问题，它要求同学们熟练掌握一元二次函数图像，以及“具有单调性”几个字的正确理解，经过分析可以得出动轴（x = ）和定区间[5，20]有三种可能，再利用函数的单调性，求出问题.

解：当 ≤ 5时，f（x） = 4x2 - kx - 8在[5，20]上单调递增.

当5 < < 20时，f（x） = 4x2 - kx - 8在5， 上单调递减，f（x） = 4x2 - kx - 8在 ，20上单调递增.

当 ≥ 20时，f（x） = 4x2 - kx - 8在[5，20]上单调递减.

f（x） = 4x2 - kx - 8在[5，20]上具有单调性，

≤ 5或 ≥ 20.

解得：k ≤ 40或k ≥ 160.

此题讲解到此为止，感觉太可惜了，我们可稍微变式拓展一下.

变式拓展：已知函数f（x） = 4x2 - kx - 8，求f（x）在[5，20]上的最值，请同学们认真思考.

学生共同讨论一会儿，大家你一句我一句，最后得出应该有四种情况，我来总结分析.

析：当 ≤ 5时，f（x） = 4x2 - kx - 8，求f（x）在[5，20]上单调递增，

所以f（5）min = 92-5k，f（20）max = 1592-20k.

当5 < < 20时，分两种情况： 即对称轴x = 在区间（5，12.5]中和对称轴x = 在区间[12.5，20）中.

（1）当5 < ≤ 12.5时， f（x）在5， 上单调递减，f（x）在 ，20上单调递增，且对称轴x = 离5近离20远，

所以f（x）min = f = - - 8，f（x）max = f（20） = 1592 - 20k.

（2）当12.5 ≤ < 20时，f（x）在5， 上单调递减，f（x）在 ，20上单调递增，且对称轴x = 离5近离20远.

所以f（x）min = f = - - 8，f（x）max = f（5） = 92 - 5k.

当20 ≤ ，即k ≥ 160时，f（x） = 4x2 - kx - 8，求f（x）在[5，20]上单调递减，

所以f（5）max = 92 - 5k，f（20）min = 1592 - 20k.

以上我们通过课本的练习题，深挖变式拓展，把一元二次函数的闭区间最值问题的几种可能性都分析到了，分别是“定轴定区间”“动轴定区间”“定轴动区间”“动轴动区间”四种形式，其中“定轴定区间”很容易，绝大多数同学都能掌握，而对于“动轴定区间”“定轴动区间”两种形式，学生还不易掌握，这是因为二次函数初中没深讲，高中又没有深度讲解，只是在潜移默化中不断加深. 对于“动轴动区间”比较难，注意分析，让同学体会如何处理两个“同名变量”的二次函数问题，重点是分析，同时注意数形结合的思想，通过实践证明，多画图，分析可能性，有助于学生的理解. 这次南陵中学高一期中考试第18题第二问，就是一个典型的“轴定区动”的问题，还有选择题第10题就是一个“对勾函数”的问题，而“对勾函数”在课本“函数的奇偶性”例题、练习题中有所体现，限于篇幅，不再叙述.

只有我们平时深挖课本例题、习题的“母题”作用，通过变式拓展，加深同学们对知识的融会贯通与总结，这样才有助于提高我们课堂的时效性和有效性，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的数学成绩.