有限长均匀带电圆柱体空间电势分布

摘要：以有限长均匀带电圆柱体为模型，根据电势的叠加原理，在柱坐标系下导出空间任意点的电势所遵循的分布规律。采用Matlab软件得到形象、直观的空间电势分布图像。

关键词：均匀带电圆柱体；电势；数值计算

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）04-0217-02

《大学物理》教材中常介绍均匀带电薄圆盘空间电势的分布情况，且在一些文献中也常看到有关均匀薄圆盘在空间任意点电势分布的计算，而实际问题中圆盘的厚度是不容忽视的，有关考虑圆盘厚度对空间电势分布的影响尚未见报道。如果考虑圆盘厚度的影响，这将涉及到一系列烦琐的数学计算。本文以有限长均匀带电圆柱体为模型，根据电势的叠加原理，在柱坐标系下导出空间任意点电势的分布规律，并通过Matlab软件描绘出空间电势分布图像。

一、物理模型

二、数值计算与讨论

取圆柱体底面半径R=1m，高2L=2m，选无穷远处为零电势点。根据（4）式利用Fortran语言计算x∈[0，10]，z∈[0，10]区域内均匀带电圆柱体在xOz平面上的电势分布。首先，我们讨论电势在x轴和z轴上的变化趋势。令P点从原点出发分别沿x轴和z轴运动，且远离原点O的速度沿各方向相同。在t时刻，有P点在x轴和z轴上距原点的距离相等，很明显r和r′的大小依赖于2xρcosφ和2zl。假设电荷元所在圆环沿圆柱体对角线匀速率移动，那么在t时刻，便有ρ=l。又因为2xρ受cosφ影响，故2zl≥2xρcosφ。即得到r≥r′，故P点在距坐标原点相同距离位置处x轴上电势要比z轴上电势小。换句话说，电势在x轴上比在z轴上变化得快，会更早趋于零。根据旋转对称性，原点附近的等势线为椭圆。利用Matlab作出xOz平面上的电势分布，如图1所示。在xOz平面，均匀带电圆柱体空间电势关于圆柱体中心对称。电势与离坐标原点的距离有关，离坐标原点越远电势越小，在无穷远处趋于零；坐标原点处电势达到最大。应用同样的方法可得到z=0时，平面xOy内空间点的电势分布，即距z轴相同位置处电势相等，等势线为圆形。对圆柱体模型限定某些特定条件后，即可得到常见的带电细棒和薄圆盘问题。

三、结语

本文根据电势叠加原理，给出有限长均匀带电圆柱体空间电势分布，并借助Matlab软件形象、直观地绘出了电势空间的分布情况。

参考文献：

[1]程守诛，江之永.普通物理学（第2册）[M].北京：人民教育出版社，1982.

[2]马文蔚.物理学[M].北京：高等教育出版社，2006：160.

The Electric Potential Distribution of Finite Length Uniformly Charged Cylinder

RONG Jian-hong1，WANG Huan2，DU Ru-hai1

（1.College of Physical Science and Technology，Inner Mongolia University，Hohhot，Inner Mongolia 010021，China；2.College of Science Inner Mongolia Agricultural University，Hohhot，Inner Mongolia 010018，China）

Abstract：The electric potential distribution of arbitrarily selects in the space for uniformly charged cylinder is derived according to the principle of superposition potential under a cylindrical coordinate system. Spatial electric potential distribution is described by using Matlab software.

Key words：uniformly charged cylinder；potential；numerical calculation