一道中考压轴题的多解\错解及感悟
时间：2022-09-23 01:27:58
2013年江苏省泰州市中考数学试卷的压轴题（第26题）是：
已知:关于x的二次函数y=-x2+ax(a＞0),点A（n，y1）,B（n+1，y2）,C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数．
(1)若y1＝y2,请说明a必为奇数.
(2)设a＝11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值.
(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在,求n的值(用含a的代数式表示)；如果不存在,请说明理由.
一、多解思路简析
（1）思路1：点A（n，y1）,B（n+1，y2）在二次函数y=-x2+ax的图象上,
y1=-n2+an，y2=-（n+1)2+a（n+1）；
y1＝y2,
-n2+an=-（n+1)2+a（n+1），
化简，得a=2n+1.
又n为正整数，
a必为奇数.
思路2：点A（n，y1）,B（n+1，y2）在二次函数y=-x2+ax的图象上,且y1＝y2,
A,B两点关于二次函数的对称轴x=a2对称.
又A,B两点的对称轴为x=n+n+12，
有a2=n+n+12，
a=2n+1.
n为正整数，
a必为奇数.
（2）思路1：当a=11时，y=-x2+11x，y1=-n2+11n，y2=-（n+1)2+11（n+1），y3=-（n+2)2+11（n+2）.
y1≤y2≤y3，
-n2+11n≤-（n+1)2+11（n+1）≤-（n+2)2+11（n+2），
解得n≤4.
n为正整数，
n的值为1,2,3,4.
思路2：当a=11时，y=-x2+11x，二次函数的对称轴为x=5.5；当x＜5.5时，y随x的增大而增大；当x＞5.5时，y随x的增大而减小；
y1≤y2≤y3，
(n+1)+(n+2)2≤5.5，
解得n≤4.
n为正整数，
n的值为1,2,3,4.
图1思路3：当a=11时，y=-x2+11x，二次函数的对称轴为x=5.5.易知，当x＜5.5时，y随x的增大而增大；当x＞5.5时，y随x的增大而减小.作出图象如图1.
y1≤y2≤y3，
只要在对称轴的左边寻找正整数n的值即可，观察可知n的值为1,2,3,4.
（3）思路1：点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上,
y1=-n2+an，y2=-（n+1)2+a（n+1），y3=-（n+2)2+a（n+2），
y1-y2=2n+1-a，y2-y3=2n+3-a.
假设存在以AC为底边的等腰三角形，
AB=BC，
AB2=BC2，
（2n+1-a）2+12=（2n+3-a）2+12，
即2n+1-a=2n+3-a（无解）或2n+1-a+2n+3-a=0，解得n=a－22.
n为正整数，
a－22≥1，解得a≥4且a为偶数.
当a≥4且a为偶数时，存在以AC为底边的等腰三角形，其中n=a－22；其他情况不存在以AC为底边的等腰三角形.
思路2：假设这样的等腰三角形存在，当A,B,C三点在对称轴的同侧时，如图2，过B,C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N，过A,B两点分别作BM和CN的垂线，垂足分别为D,E.则AD=BE=1.
AB=BC，
RtABD≌BCE，
∠ABD=∠BCE，
∠ABD+∠EBD+∠CBE=∠BCE+∠EBD+∠CBE=180°，
图2图3
A,B,C三点在同一条直线上，不符合要求.
当A,B,C在对称轴的异侧时，如图3，过A,C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N，过B点分别作AM和CN的垂线，垂足分别为D,E，则BD=BE=1.
AB=BC，
RtABD≌BCE，
AD=CE，
AC∥x轴，
AC的对称轴就是二次函数的对称轴，点B应该在二次函数的对称轴上，
y1=y3，有-n2+an=-（n+2)2+a（n+2），化简得n=a－22.
n为正整数，
a－22≥1，解得a≥4且a为偶数.
当a≥4且a为偶数时，存在以AC为底边的等腰三角形，其中n=a－22；其他情况不存在以AC为底边的等腰三角形.
二、错解原因归类
1.错解呈现
（1）错解1：点A（n，y1），B（n+1，y2）在二次函数y=-x2+ax的图象上,
y1=-n2+an，y2=-（n+1)2+a（n+1）.
y1＝y2,
-n2+an=-（n+1)2+a（n+1），
a=2n-1.
n为正整数，
a必为奇数.
错解2：点A（n，y1），B（n+1，y2）在二次函数y=-x2+ax的图象上,
y1=-n2+an，y2=-（n+1)2+a（n+1）.
y1＝y2,
-n2+an=-（n+1)2+a（n+1），
n=a－12.
如果a不是奇数，则a-1为奇数，n就不是整数，这与条件n为正整数矛盾，
a必为奇数.
（2）错解1：当a=11时，y=-x2+11x，二次函数的对称轴为x=5.5；作出草图如图1，观察图象结合n为正整数，可知n=1,2,3,4时均满足y1≤y2≤y3，
n=1,2,3,4.
错解2：当a=11时，y=-x2+11x，y1=-n2+11n，y2=-（n+1)2+11（n+1），y3=-（n+2)2+11（n+2）.
y1≤y2≤y3，
-n2+11n≤-（n+1)2+11（n+1）≤-（n+2)2+11（n+2），转化为下列3个不等式组成的不等式组：
①-n2+11n≤-（n+1)2+11（n+1），
②-（n+1)2+11（n+1）≤-（n+2)2+11（n+2），
③-n2+11n≤-（n+2)2+11（n+2）.
解①得n≤5；解②得n≤4；解③得n≤4.5.
n≤5.又n为正整数，
n的值为1，2，3，4，5.
（3）错解1：由题意，有y1=-n2+an，y2=-（n+1)2+a（n+1），y3=-（n+2)2+a（n+2），y1-y2=2n+1-a，y2-y3=2n+3-a.
假设存在以AC为底边的等腰三角形.则AB=BC，即AB2=BC2，
（2n+1-a）2+12=（2n+3-a）2+12，
即2n+1-a=2n+3-a（无解）或2n+1-a+2n+3-a=0，
解得n=a－22.
存在n,使ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=a－22.
错解2：抛物线是对称轴图形，等腰三角形也是轴对称图形，
等腰三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，
A,C两点关于抛物线的对称轴对称，
y1=y3.
y1=-n2+an，y3=-（n+2)2+a（n+2），
-n2+an=-（n+2)2+a（n+2），
n=a－22.
存在n,使ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=a－22.
2.错因归类
错因1：只顾结论，忽视过程.
在第（1）题中，由于结论是明确的，有些考生认为，只要能得到“a必为奇数”就行，因此忽视了中间说理过程的正确性.如错解（1）中由“a=2n-1”和n为正整数也可以得到“a必为奇数”，但中间运算得到a=2n-1是错误的；错解（2）得出n=a－12后，运用反证法来说理，但已知条件只有a＞0，所以不能由a不是奇数，就认为a-1为奇数，错解默认了a为整数.这种结论正确，过程错误的现象很容易麻痹考生，其隐蔽性强，危害性更大.
