矩阵左半张量积的一些重要性质

摘 要 文章对矩阵的一种新的乘法运算——左半张量积，进行了探讨，获得了一些新的性质，得到了一些重要的结论。

关键词 左半张量积 换位矩阵 行展开 列展开

中图分类号：O151 文献标识码：A

Some Important Properties of the Left-semi-tensor Product of Matrices

LI Dongfang

（Xuchang Electric Vocational College， Xuchang， He'nan 461000）

Abstract This paper analyzes a new operation of matrices--the left-semi-tensor product， obtains some new properties and important conclusions.

Key words left-semi-tensor product； commutation matrix； row stacking； column stacking

0 引言

矩阵的左半张量积是中科院系统所程代展研究员在文献[1]中首次提出，它是普通矩阵乘法的推广。对于普通矩阵，矩阵，可乘只有的列数与的行数相等才可以，而矩阵的左半张量积把矩阵乘法推广到的列数与的行数满足倍数关系就可以相乘，这使得这种新的乘法应用领域更广。它在微分几何、抽象代数、数理逻辑、动态系统的对称性以及工程非线性等问题中已经找到自己的应用，并且其应用领域在不断扩大。因此，研究其性质是很有必要的，在理论上有价值，在现实中也有意义。

1 预备知识

定义1：（1）设 = （，…）是一个行向量， = 是一个列向量。

第一种情况：如果是的因子，即 = ？，则和的左半张量积定义为一个维数为的行向量

I# =

这里 = （，，…，），且 ， = 1，2，…，。

第二种情况：如果是的因子，即 = ？，则和的左半张量积定义为一个维数为的列向量

I# =

（2）设，，如果是的因子或者是的因子，则称 = I#是和的左半张量积，如果由个块组成，即 = （），并且 = I#， = 1，…， = 1，…，。

当定义中 = 时，向量的左半张量积就变成标准内积；当 = 时，矩阵的左半张量积就退化成普通矩阵乘法。因此说左半张量积是普通矩阵乘法的推广，除非为了强调左半张量积，否则我们文中将会省略乘法符号I#。所有省略符号的矩阵乘法都看作是左半张量积，普通的矩阵乘法只是它的一种特殊情况。

给定矩阵（），记为的转置，（）为矩阵的列展开，（）为矩阵的行展开，为换位矩阵。我们有如下引理：

引理1：（）= （），（）= （）。

引理2：设，那么（）= （），（）= （）。

引理3：设，，，那么（）= I#（），（） = I#（）。

2 主要结论

定理1：设，则有（1）（）= （），（2）（） = （）。

证明：（1）由引理2知，（）=（），两边同时左乘得，（）=（），由于是单位矩阵，所以有（）= （）。由引理1：（）= （），从而有（） = （）。

（2）由引理2知，（）=（），两边同时左乘得，（）=（），由于是单位矩阵，所以有（）=（）。由引理1：（）=（），从而有（） = （）。

定理2：给定矩阵，（1）设是一个列向量，则有 = ；（2）设 是一个列向量，则有 = （）。

证明：（1）由引理3：（）=I#（）可得：（） = I#（）。两边取转置： = = I# = I# = 。考虑到是1 ？维行向量，则（）是 ？1维列向量， = ，从而有 = 。

（2）由引理3：（） = I#（）可得：（）= I#（）。 考虑到为 ？1维列向量，（） = ，从而有 = （）。

定理3：设，，，则有（1）（） = （）；（2）（）= （）。

证明：（1）（） = （） = I#I#（） = I#I#I#（）= （）。（2）（） = （） = I#I#I#（） = （）

推论：设，，，那么（1）（） = （）；（2）（）= （）。

证明：（1）由引理3和定理3可得，（） = I#（） = I#I#I#I#（）= （）；（2）由引理3和定理3可得，（）= I#（）= I#I#I#I#（）= （）。

3 结束语

矩阵的左半张量积是一种新的矩阵乘法，在处理许多问题中它是一种有力的工具，通过文中对其性质的研究，可以看出，矩阵的左半张量积在很大程度上继承了普通矩阵乘法的性质。 因此，在理论上和实际应用中，它的优越性会越来越明显，具有广泛的应用前景。

参考文献

[1] Cheng D. Semi-tensor product of matrices and its application to Morgan’s problem[J].Science in China， Series F，2001.44（3）：195-212.

[2] Cheng D， Zhang L. On Semi-tensor product of matrices and its applications[J].Acta Math. Appl. Sinica， 2003，19（2）：219-228.

[3] Li Dong-fang. On the positive definiteness of the left semi-tensor product of matrices[J].Proceedings of the Eighth International Conference on Matrix Theory and its Applications in China，2008（1）：119-122.

[4] 程代展，齐洪胜.矩阵的半张量积理论与应用（第二版）[M].北京：科学出版社，2011.

[5] Cheng D.Some applications of semi-tensor product of matrices in Algebra[J].Computers &Mathematics with Applications，2006.52（6-7）：1045-1066.