对称矩阵与次正交矩阵的性质

1基本定义

在这篇论文中，[Pm×n]表示定义在数域[P]上的所有[m×n]矩阵的全体；[AT]表示矩阵[A]的转置矩阵；[E]表示单位矩阵；[Jn]表示次单位矩阵，即次对角线元素全为1，其余元素全为0的[n]阶方阵。

定义1[[1，3]] 设矩阵[A=aijm×n]，称矩阵

[amnam-1n…a1namn-1am-1n-1…a1n-1???am1am-11…a11]

为矩阵[A]的次转置矩阵，记为[Ast].即：设[Ast=bijn×m]，则[bij=an-j+1m-i+1].

容易得出次转置有以下性质[1，2]：

[A+Bst=AST+BST]；[kAST=kAST]；[ABST=BSTAST]；[AST-1=A-1ST].

定义2 设矩阵[A=aijn×n]，若，称[A]为次对称矩阵；若[Ast=A]，称[A]为反次对称矩阵.

定义3 设矩阵[A=aijm×n，B=bijp×q]，则[mp×nq]矩阵

[a11Ba12B…a1nBa21Ba22B…a2nB???am1Bam2B…amnB]

称为矩阵[A]和[B]的张量积，记为[A?B]。

定义4 设矩阵[A=aijm×n，B=bijm×n]，则称矩阵[C=aijbijm×n]为矩阵[A]和[B]的Hadamard积或Schur积，记为[A?B]。

定义5 设[A∈Pn×n]，若存在矩阵[B∈Pn×n]，使得[AB=BA=J]，我们称[A]为次可逆矩阵，[B]称为[A]的次逆，记作：[B=A-1]；易得矩阵[A]有次可逆，则[A]的次逆是唯一的。

由定义5可知若[A]次可逆，则[AST，A-1，kA][k≠0]都是次可逆矩阵，且[AST-1=A1ST，A-1-1=A-1-1，kA-1=1kA-1 k≠0]，且若[B]也次可逆，则[AB]也次可逆，[AB-1=A-1B-1J=JA-1B-1].又[A]次可逆，则[AJ=JA]。

定义6 设[A]是[n]阶方阵，若[AAST=E]，则称[A]为次正交矩阵.

2关于次转置与次对称矩阵的性质

由次转置的定义可知，若[A]为分块矩阵，记[A=Aijs×t]，则[AST=ASTjit×s].由此可得下面性质：

性质1 设[A=aijm×n，B=bijp×q]，则

（1） [A?BST=AST?BST]；

（2） 若[A，B]均为次对称矩阵，则有[A?B]也是次对称矩阵。

证明 （1） 由上面分析可知：

[A?BST=a11Ba12B…a1nBa21Ba22B…a2nB???am1Bam2B…amnBST =amnBSTam-1nBST…a1nBSTamn-1BSTam-1n-1B…a1n-1BST???am1BSTam-11BST…a11BST =AST?BST.]

（2） 由（1）可得，[A?BST=AST?BST]，又[AST=A， BST=B].所以[A?BST=A?B]，证毕！

性质2 设[A，B∈Pm×n]，则

（1）[A?BST=AST?BST]；

（2） 若[A，B]均为次对称矩阵，则有[A?B]也是次对称矩阵

证明 （1） 由定义4得：

[A?BST=a11b11a12b12…a1nb1na21b21a22b22…a2nb2n???am1bm1am2bm2…amnbmnST =amnbmnam-1nbm-1n…a1nb1namn-1bmn-1am-1n-1bm-1n-1…a1n-1b1n-1???am1bm1am-11bm-11…a11b11 =AST・BST.]

（2） 由[AST=A， BST=B]及（1）可得[A?BST=A?B].证毕！

3关于次正交矩阵的结论

定理1 设[A]是反次对称矩阵，且[J+A]次可逆，则[J-A]也次可逆，且[B=J-AJ+A-1]是次正交矩阵。

证明 因为[A]是反次对称矩阵，所以[AST=-A]，于是

[J-A=J+AST]，

又[J+A]次可逆，所以[J-A]也次可逆.又因为

[J-AJ+A=E-A2=J+AJ-A]，

所以有

[BSTB=J-AJ+A-1STJ-AJ+A-1 =J+A-1STJ-ASTJ-AJ+A-1 =J+AST-1J+AJ-AJ+A-1 =J-A-1J-AJ+AJ+A-1 =E，]

故[B=J-AJ+A-1]是次正交矩阵.

定理2 若[B]是次正交矩阵，且[B]，[J+B]次可逆，则存在反次对称矩阵[A]使得

[B=J-AJ+A-1].

证明 取[A=J+B-1J-B]，首先证明

[J+B-1J-B=J-BJ+B-1]， （3-1）

式（3-1）两边分别左乘右乘[J+B]，可得

[J-BJ+B=J+BJ-B]， （3-2）

式（3-2）显然成立，由上面运算的可逆性知式（3-1）成立.于是

[AST=J+B-1J-BST =J-BSTJ+B-1ST =JBBST-BSTJBBST+BST-1 =JB-JBSTBST-1JB+E-1J =B-JJB+J-1J =-J-BJ+B-1 =-A，]

所以[A]是反次对称矩阵。

由[A=J+B-1J-B=J+B-12J-J+B=2JJ+B-1-J]，可得

[J-AJ+A-1=2JJ+A-1-J =2J2JJ+B-1-1-J =2J12J+BJ-J =B]

所以存在反次对称矩阵[A]使得[B=J-AJ+A-1]

参考文献：

[1]陈湘S.次对称矩阵的一些性质[J].盐城工学院学报.2007， 20（4）： 17-18.

[2]秦兆华.矩阵的次转置及实次对称矩阵的次正定性[J].渝州大学学报.1994， 11（1）： 14-18.

[3]秦兆华.关于次对称矩阵与反次对称矩阵[J].西南师院学报.1985（1）： 100-110.

[4]刘玉，陈创鑫.次可逆矩及其性质[J].大学学报.2010， 26（3）， 177-180.