向量加减法只辨

提问: 在向量的线性运算这一章中,一开始学的是向量加法的“三角形法则”,我掌握得不错,运用得也挺熟练的. 可是之后学习向量的减法运算时,又冒出来一个“三角形法则”,这就把我搞糊涂了. 这两个“三角形法则”到底有什么不一样?

回答: 初学向量时,很多同学会有这样的疑惑,但如果你真正理解了向量加减法的几何意义,你就会明白这两个“三角形”的形成过程有着显著的差异.

先来看向量加法的“三角形法则”. 图1表示了4个向量求和的情形,不难发现,应用向量加法的“三角形法则”时,第二个向量的始点是第一个向量的终点,第三个向量的始点是第二个向量的终点……如此依序相连,仿佛一张路线图,向量相加的过程就是沿着这条路线一个站点一个站点“走路”的过程,而相加的结果就是从最初的点指向最后的终点的一个向量.我们可以用一句话来概括向量的加法:“首尾相连,直达终点.”

图1 图2图3

再来看向量减法的“三角形法则”. 由图2可见,不同于加法运算时后一向量的始点与前一向量的终点重合,相反,作减法运算时两者的始点是重合的,而差向量即为连接两者终点的一个向量,方向指向被减向量. 如果把两个向量a,b分别以食指和中指来代替(见图3),则减法运算的图形就好比我们常用的“V”形手势.向量的减法同样可归结为一句话:“并始点,连终点,向被减.”

总而言之,向量相加是“头接尾”形成三角形,而相减则是“分道扬镳”形成三角形,这就是向量加法与向量减法的“三角形法则”的最大差异.

提问: 平时练习中经常碰到这样一类题,要求以某两个向量为基底,把其他向量用这两个向量来表示.老师在讲这类题的时候,有时是把目标向量转化为其他向量的和,有时又把它转化为其他向量的差. 比如求,有时是转化成=+,有时又转化成=-,这让我觉得很困惑. 请问遇到这类问题究竟应该怎么处理?

回答: 你所说的这类问题应该是指向量的线性表示.对于这类题,当然不同的题目有不同的应对方法,要视题目条件来决定究竟是转化成“和”还是“差”来求解更便利. 不过,我的建议是,尽量用加法,因为减法其实可以转化为加法. 就像前一问中说的,加法就像“走路”,只要我们会“走路”,就能顺利找到“目的地”.

下面用一个具体的例子来说明.

例: 如图4所示,在ABC中,D是线段AC的中点,F是线段DB的中点,E在线段BC上,且BE=2EC.记 =a,=b,试用a,b表示.

解析: 先来确定“行走”路线. 从E到F,可以选择EBF的路线,则=+. 显然,=,=-.

要求,我们可以选择路线CAB,即= +=-b+a;

要求,我们可以选择路线DAB,即=+=-b+a.

=+=(-b+a)--b+a=a-b.

当然,你也可以选择其他的路线,比如ECDF或者ECABF,看看最终结果是否一样.