矩阵论课程教学的研究与实践

摘要：针对长春理工大学为硕士非数学类研究生开设的矩阵论课程，文中介绍了矩阵论教学内容模块，在教学过程中经过实践发现的教学方法和教学手段的改革，并讨论了矩阵论课程在数学类课程的教学体系中的作用。

关键词：研究生；矩阵论；教学

中图分类号：G423.07

在数学中，矩阵论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目，在计算科学、控制理论、信息科学与技术、管理科学等学科中都发挥着举足轻重的作用。矩阵理论本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，逐渐发展成为一门独立的学科。研究生教育是我国高等教育的最高层次，是为培养高素质高层次专业技术人才的。矩阵论课程作为数学理论基础课在研究生课程设置中为工科研究生的公共学位课，通过本课程的学习，掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，培养学生在有限维线性空间的框架下分析和解决工程实际问题的能力。

矩阵论课程内容的模块

本文作者多年来一直为长春理工大学工科研究生讲授矩阵论课程，并参与编著了《矩阵论》教材及《矩阵论学习指导与习题解析》。该矩阵论教材是在2000年吉林科学技术出版社出版的教材《矩阵论》（戴天时、李延忠编著）基础上修订编写而成，其内容包括以下知识模块：

1、线性空间与线性变换模块，包括向量组的线性表示、线性相关和线性无关，线性空间的基、维数、向量的坐标，线性子空间，线性变换，线性变换的不变子空间等内容。

2、内积空间模块，包括欧氏空间和酉空间，Schmidt正交化方法，标准正交基，Hermite二次型，在一组基下的度量矩阵，欧氏子空间，正交变换，酉变换．

3、相似标准形模块，包括任意复方阵能相似成Jordan标准形，任意Hermite矩阵能酉相似成对角形，任意正规矩阵能酉相似于对角形矩阵等。

4、矩阵分解模块，包括满秩矩阵的正交三角分解，任意矩阵的满秩分解，正规矩阵和可对角化矩阵的谱分解，任意矩阵的奇异值分解等。

5、向量范数与矩阵范数模块，包括范数的等价性，向量范数与矩阵范数的相容性，函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数、函数矩阵的微分与积分等．

6、矩阵函数模块，包括矩阵级数，矩阵函数的Jordan表示，拉格朗日－西尔维斯特插值多项式表示，运用矩阵函数与矩阵微积分理论求解微分方程组等．

二、矩阵论课程教学中的实践

矩阵论课程具有概念抽象、理论性强的特点。如何提高这门课程的教学质量，激发研究生的学习兴趣，是理工科研究生数学课程教学改革的重要课题。

1、注重数学思想和数学思维的训练。

加强思维训练、学会用数学思维考虑问题，对培养理工科研究生的创新能力尤为重要。在教学过程中，注意加强研究生的数学思维训练，特别是注重培养研究生的逻辑思维、逆向思维和创造性思维。积极探索启发式教学，通过对一些结论产生过程的分析，揭示合情推理与论证推理的内在联系，丰富理工科研究生的数学思想，提高研究生的数学思维能力。

2、注重提高创新能力

要引导研究生“观察”、“发现”、“猜想”，发展直觉思维，同时又根据直觉思维得出的假设进行严格论证。在传授基本理论和方法的同时，把培养研究生的创新能力放在重要位置。“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。

3、多媒体教学课件的合理使用

为了提升教学水平与提高教学效果，用黑板板书授课，书写量大，所以要重视多媒体技术现代教育技术手段在教学中的运用。但是在矩阵论教学中，多媒体的辅助手段要结合数学课程的特点，注意实效，恰当运用，不可过多，只能辅助教学，不能代替教学。比如，计算步骤是必不可少的，而且必须讲清计算过程的每一步。经过多年的教学实践，我们制作了适合长春理工大学学生授课使用的多媒体教学课件，并发现多媒体教学课件的使用必须结合大量的黑板板书，才能真正达到让学生掌握得很好。比如：矩阵分解内容需要大量的板书，而类似的内容就适合用多媒体教学课件，讲解矩阵的谱分解时，首先用黑板讨论可对角矩阵为什么能进行谱分解，证明过程需要在黑板时进行谱算子的获得，而讲授正规矩阵的性质及求解正交谱算子进行谱分解时，只需在课件上讨论正规矩阵的理论及正交谱算子的获得即可。此外，像线性空间与线性变换内容中涉及本科生线性代数已有的理论在课件上演示即清晰又节省了授课时间。

整合研究生数学类课程的教学体系

在讲授矩阵论课程的基础上，制定了矩阵论课程的新教学大纲，新教学大纲不仅注意课程内容的深度和广度，有利于研究生掌握坚实宽广的基础理论知识，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素质，而且注重培养研究生应用数学知识将实际工程技术问题转化为数学问题，并运用数学理论和方法解决问题的能力。由于研究生数学类课程体系的建设是伴随着研究生教育的不断发展、在实践中不断创新和前进的研究生教育活动，所以在课程体系改革中应遵循实践逻辑，致力于对具体情景的分析，在实践中不断平衡“学科”、“学生”、“社会”的需要，建立科学的研究生课程体系。因此，我们研究了非数学类博士、硕士研究生的各门课程教学内容的合理设置，对教学内容进行了整合和优化，更新和拓展了一些教学内容，将现代数学的思想、观点、概念、理论和方法融入教学内容，各门课程教学内容的合理设置，并把研究成果充实到教学内容。

目前，矩阵理论在自然科学，工程技术和社会经济等领域的应用日趋深广，越来越引起人们的重视。我们对数值的运用，如果定义了维度，那矩阵就是从多重维度的角度来解决了数值的运算。比如我们进行奇异值的分解，求逆或者线性变换等等，这些都是数值的运算。这样的运算除了理论上的作用，主要是为了更好的存储数据和计算。计算机存储数据存的就是一个矩阵，如果一个矩阵能奇异值分析，那么存的数据就很少，而且计算也很方便。所以，要重视矩阵论的教学，在矩阵论教学的实践中继续促进教学方法及教学手段的改革，以提高授课效益。

参考文献

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[3]王青霞，赵会茹.加强研究生课程体系建设，提高工科研究生创新和实践能力[J]，学位与研究生教育.2008增刊：94-96.