利用变式训练提高学生的数学素质

随着新课改的进一步深入，怎样利用好教材例题、习题进行变式，培养学生思维、巩固学习方法、体会数学精髓（数学思想）是全面贯彻新课标的有效手段。现我就对人教版中的一道习题及其变式题的心得与同仁们分享，还请大家多多指正。

例：（人教版九年级上第103页）如图AM、DC、BN，分别与☉O相切于A、E、B，且AM∥BN，DO=6 cm，CO=8 cm，求DC的长（利用整体思想求出∠DOC=90°，再利用勾股定理求出DC）

变式1：连接AB，求证：AB是☉O的直径（利用转化思想，先证明∠AEB=90°，从而说明AB是☉O的直径）

变式2：（1）梯形ABCD的面积与三角形DOC的面积有什么关系？分别计算出来。（此题利用化归思想，计算出三角形DOC的面积即可。24；48）

（2）能计算☉O的半径吗？（利用等积方法解决，OE=4.8）

（3）求阴影部分的面积？（把不熟悉的图形转化为熟悉图形的和或差，11.8）

变式3：如图AM、DC、BN，分别与☉O相切于A、E、B，AB=12，设AD=x，BC=y，写出y与x的函数关系式？

（利用勾股定理建立关于x、y的方程，体现了函数思想y=，x??0），

变式4：求四边形ABCD的最大值

基本知识的拓展：无理式的配方解决最值；S=×12（x+y）=6（+）=6（-）2+72

变式5：如图AB是☉O的直径，AM、BN分别是☉O的切线，若DC=AD+BC，求证：DC是☉O的切线（此题考查切线的证明及综合应用知识能力：作OECD于E，证明OE=OA即可。利用全等、等腰三角形知识）

变式6：如图，AB是☉O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切☉O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，

（1）求证：OD∥BE；（综合应用知识能力：2∠ODC+∠DCB=2∠BEC+DCB=180°）

（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。（通过猜想，证明，得出结论是数学研究的常用方法：∠DOC=90°）

变式7：如图AB是☉O的直径，AM、BN分别是☉O的切线，若∠DOC=90°，求证：DC是☉O的切线（此题对初中的图形作了一个全面考查：作OECD于E，证明AOD≌BOG，OC是中垂线，CDG为等腰三角形，所以∠CDG=∠CGD，再证明AOD≌EOD，可得OE=OA，∠OED=90°）

变式8：如图（1），AB为☉O的直径，AD与☉O相切与点A，DE与☉O相切与点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB。

（1）求证：BC为☉O的切线；（连接OE、OC证明CEO≌CBO即可）

（2）连接AE、AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示）AB=2，AD=2，求线段BC和EG的长。（方程思想的考查：连接BE，DFBG于F，利用勾股定理建立方程可求出BC=2.5，再证明∠GAD=∠DEA=∠G=∠GEC，CE=CB=CG=2.5，利用等积求出BE=，再用勾股定理得EG=）

变式9：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12 cm，AD=8 cm，BC=22 cm，AB为☉O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB想点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s），求：

（1）当t为何值时，四边形ABQP的面积最小，最小值为多少？

（2）当t为何值时，PQ与☉O相切？（动点问题是考查学生在变中找不变的能力即事物的内在联系，此题还考查了数学建模思想，以及学生探究问题的方法和能力，对学生的数学综合能力要求较高）

由此可见，利用好教材资源，认真开发例题，习题将其变式，可以很好地提高学生的数学素质，激发探究兴趣，对巩固双基，训练数学思维，体会数学思想起到事半功倍的效果。这也是全面贯彻新课标的有效手段。

（作者单位 四川省江油市小溪坝中学）