经济订货批量模型及其扩展

[摘要] 本文对经典的经济订货批量模型进行了扩展，分别建立了考虑购买货物本身费用的模型和不允许缺货的生产销售存贮模型，得出了最优的生产订货计划。

[关键词] 存贮模型 经济订货批量 生产销售存贮模型

存储管理是企业生产经营管理的一个重要环节，是降低成本提高企业经济效益的有效途径和方法。著名的经济订货批量公式（EOQ公式）在实际生活和工作中得到了广泛的应用，尤其是在超市、物流等领域。存储模型主要分为不允许缺货和允许缺货两大类，本文在这两类模型的基础上，根据实际生产工作的需要，做了一些扩展，以期为企业的库存决策提供一定的依据。

一、不允许缺货的存贮模型

该模型最早由F.W.Harris提出，后来Wilson把其结果纳入存贮管理系统方面做了积极工作。它适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求）。

先考虑这样的问题：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要支付生产准备费(与生产数量无关)，同一部件的产量大于需求时要付贮存费。现已知某一部件的日需求量是100件，生产准备费5000元，贮存费是每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次，每次产量多少，可使每天平均费用最小。

为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期和产量为连续量。根据问题的性质做如下假设：1产品每天的需求量为常数r；2每次生产准备费为，每天每件产品贮存费为;3生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。

将贮存量表示为时间的函数，显然，一个周期内的贮存费是，于是一周期的总费用为：，每天的平均费用为:。利用微分法得到最优解为:。

这就是经济学中著名的经济订货批量公式（EOQ公式）。由上式可以看到，当准备费增加时，生产周期和产量都变大；当贮存费增加时，生产周期和产量都变小；当日需求量增加时，生产周期变小而产量变大。

二、允许缺货的存贮模型

在某些情况下用户允许短时间的缺货，虽然会造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费的话，允许缺货就应该是可以采取的策略。这类模型适用于像商店购货之类的情形，缺货造成的损失是可以允许和估计的。不允许缺货模型的假设1、2不变，假设3改为：3a.生产能力无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费为，但缺货数量需在下次生产（或订货）时不足。

因贮存量不足造成缺货时，可以认为贮存量函数为负值，周期仍记为是每周期初的贮存量，于是有。在到这段缺货时段内需求率不变。由于规定缺货量需补足，所以在时数量为的产品立即到达，使下周期初的贮存量恢复到。

一个周期内的贮存费是，缺货的损失费是，于是一周期的总费用为:，每天的平均费用为:。利用微分法得到最优解为:。

当即缺货损失费无穷大时，允许缺货模型的最优解近似于不允许缺货模型的最优解。可见不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。

三、考虑购买货物本身的费用

如果在上述两个存贮模型中考虑购买货物本身的费用，则应在总费用中增加货物购买费，重新确定最优订货周期和订货批量。设购买单位重量货物的费用为m。

对于允许缺货的模型，总费用为:，于是每天的平均费用为:。利用微分法得到最优解为:。

对于不允许缺货的模型，总费用为:，于是每天的平均费用为:，得到最优解为:总费用中增加购买货物本身的费用，确定的最优订货周期和订货批量都与原模型的结果一样。

四、不允许缺货的生产销售存贮模型

在实现生活中，很多厂家都是边生产边销售，对于这种情形，我们同样可以建立模型，求出其最优的生产周期。

设生产的速率为常数，销售的速率为常数。在生产周期内，开始的一段时间()一边生产一边销售，后来的一段时间()只销售不生产。设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，不允许缺货。边生产边销售时，贮存量，只销售不生产时，贮存量，令得。总费用为:，于是每天的平均费用为:。利用微分法得到最优解为:。

当时，，相当与不考虑生产的情况。当时，，因为产量被销售量抵消，无法形成贮存量。

五、结束语

由于存贮问题的管理模型并不复杂，原理也容易掌握，该模型的应用可以改善企业的经营管理，以达到节约资金，获得更多利润的目的。

参考文献：

[1]姜启源谢金星叶俊：《数学模型》[M]. 北京:高等教育出版社,2003 ,8.

[2]钱颂迪：运筹学[M]. 北京:清华大学出版社,1990 ,1.