关于南通市2012届高三二模考试数列压轴题的阅卷感想

1.问题的提出

南通市二模考试前几天落下帷幕，整份试卷质量相当高，其中第二十题为一道考察数列通项问题综合题，难度颇高，很值得探究.笔者参加了市二模考试的阅卷工作，担任第二十题的阅卷组长，所以对该数列题作了仔细的研究，接触到该题的多种解答，很有感想，写下来和各位读者一起分享.

例题：（2012年南通市二模考试第20题）已知α，β是方程x2－x－1=0的两个根，且α＜β．数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=β，

an+2=an+1+an，bn=an+1－αan(n∈N*).

（1）求b2－a2的值；

（2）证明：数列{bn}是等比数列；

（3）设c1=1，c2= -1，cn+2+cn+1=cn（n∈N*），证明：当n≥3时，an=(-1)n??－1（αcn-2+βcn）．

标准答案：因为α，β是方程x2－x－1=0的两个根，所以α+β=1，α?β=-1，β2=β+1.

（1）由b2= a3－αa2= a1+a2－αa2=1+ a2－αβ=2+ a2，得b2－a2=2.

（2）因为bn+1bn= an+2－αan+1 an+1－αan= an+1+an－αan+1 an+1?－αan

= (1－α)an+1+an an+1－αan = βan+1+an an+1－αan = βan+1－αβan an+1－αan=β，

又b1= a2－αa1=β－α≠0，所以{bn}是首项为β－α，公比为β的等比数列．

（3）由（2）可知 an+1－αan=（β－α）βn??－1． ①

同理， an+1－βan=α（an－βan-1）．又a2－βa1=0，于是an+1－βan=0． ②

由①②，得 an=β n??－1.

下面我们只要证明：n≥3时， (-1) n??－1（αcn-2+βcn）= β n??－1．

因为(-1)n(αcn-1+βcn+1) (-1)n-1(αcn-2+βcn)=－αcn-1－βcn+βcn-1 αcn-2+βcn =－cn-1－βcn αcn-2+βcn=－cn-2－cn－βcn αcn-2+βcn

=－cn-2－(1+β)cn αcn-2+βcn=－－αβcn-2－β2cn αcn-2+βcn =β．

又c1=1，c2=-1，c3=2，则当n=3时，(-1)2(αc1+βc3)= (α+2β)=1+β=β2，

所以{(-1) n??－1 (αcn-2+βcn)}是以β2为首项，β为公比的等比数列．

(-1) n??－1 (αcn-2+βcn)是它的第n－2项，

所以(-1) n??－1 (αcn-2+βcn)= β2?βn??－3=βn??－1= an.

2.本题标准解法的改进或者另解，以及学生的常见错误

2.1关于本题第一问

我们在实际阅卷过程中发现，能与标准答案一样使用韦达定理求解的学生不到一半，多数学生选择求出 ， ，然后在根据 ， ，然后得到 .本身这种解法没有利用韦达定理所以计算相对而言较为复杂，所以大约有十分之一的同学竟然出现了 的简单运算错误.究其原因不外乎两点：1.全卷运算量较大，学生算至此处已然头昏脑涨.2.由于是全卷最后一题，时间非常紧迫，经了解多数学生是在还剩七八分钟时才开始做二十题，所以非常慌，由此可见稳定的计算心态对于“抢分”而言相当重要

2.2关于本题第二问

证明等比数列一般有两种证明方法：1.定义法 2.中项法.

标准答案中给出的是定义法.有两点个人以为需要补充.1.首先应当说明 再来说明 （非零常数）2.当得到 时，标准答案中用 来进行代换，笔者感觉学生不易想到，可以做如下改动，由于 ，所以 代人，即 这样对学生来说应该更容易接受.

当然此问还可以通过中项法来解决.具体解法如下.

评注：这两种解法都含减元思想，都有将 ， 用 ， 进行代换，并利用关于 的等式 进行减元.两种解法思路都容易想到，但是学生在具体解题时均出现了些小问题，定义法中学生答案较多，如 等等，给阅卷造成了很大的不便，有可能产生误判,而且中项法中存在假证或者跳去关键减元步骤的现象.

2.3关于本题第三问

标准答案给出的是求出 的通项公式，从而证明目标等式成立的做法,其中“同理， an+1－βan=α（an－βan-1）．”这步对于不了解“特征方程法求数列通项”的学生确实有一定难度.笔者另外给出两种解法，供各位读者研究.

另解1：数学归纳法——相对而言比较简单的证法

当 时， ，又 成立.类似的，当 时，也成立.

当 时，设 以及 时成立

当 时，下面证明 成立

评注：这种做法相当简洁，思维也非常清楚，但是学生要得出证明，需突破两个难点.一、这是已知前两项推出后一项的数学归纳法，与学生熟知的前项推后项的数学归纳法有区别.二、强烈的目标意识，如提取 ，利用 的递推关系将 ， 转换为 ，要清晰的知道证明的目标，并对比已有条件等式和目标等式的关系，才能作出正确的化简.

另解2.1：特征方程法——本题的最本质的解法

目标求出 ，代入目标等式，证明成立.

的特征方程 两根为 ，

的特征方程 的两根为 ， ，由韦达定理可得 ，两个特征方程根之间存在这样的关系 ， 的通项求法标准答案已经给出，下面仿照求 通项的方法，类似地求出 的通项.令 [1]，则

.因为 ,所以

即 ，又因为 ，因此 …③，同理可得令 可得 ，又因为 因此 …④， 由③④可得， ，所以 ，至此我们求出了 和 的通项，只要将其代入目标等式证明成立即可.(有些繁琐，从略)

评注：根据 的二阶递推关系，得到相应的特征方程，并据特征根构造两个新的一阶递推数列，用类似于标准答案上给出的方法，得出了 的通项公式，又据两个特征方程根之间的关系（ ），用α，β表示出了 ，可以看出命题者精心构造了两个关系密切的特征方程.如果 与 之间无等量关系，则无法证明 之间存在等量关系.

另解2.2：特征方程法的简化

其实我们还可以将目标等式进行化简，再来证明.由 ，由④式我们可以得到， ，即证 ，显然成立

评注：本解法与另解2.1相对比观察到 的直接关系，只需求出 的通项即可，另外此种解法还需利用④式.

另解2.3利用特征根待定系数求

由于 的特征方程 的两根为 ， ，所以设 [2]，由c1=1，c2= -1，求出 ，得到 的通项公式，以下不再赘述.

评注：要能用此种解法来做，必须彻底理解特征方程法求数列通项，并利用其中结论，此法简便易行，但是需要知识基础.

3.问题的本质揭示

本题的命题思路应该是以数列的二阶递推关系为背景,本质上是由数列的递推关系求数列的通项,前几年这种背景的题型在各省的高考题中经常出现.现将几种常用的利用特征方程求通项的方法展示一下.

1．一次特征方程：已知 以及 , ，其特征方程 ，根为 ，则 .这种做法即我们平时说的待定系数法求通项.

2．二次特征方程：已知 ， 以及 , ，其特征方程

两根为 .①当 时, , 由 确定.②当 时, , 由 确定.经笔者研究发现当 时,如果要由二阶递推关系 构造等比数列,会有两种做法① ,

② ,而例题中的二三两问的命题思路,均可以从其中发现. 由于特征方程x2－x－1=0的两个根α，β不是整数，所以本题显得比较难以理解,我们不妨将例题改为：数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1+3an，bn=an+1－3an(n∈N*)，证明{ bn }为等比数列.这样由于特征根为3，-1，所以整个例题便较为简单明了.当然我们还可以将线性递推数列推广至分式情形和高次情形，但由于高中数学使用不多，所以这边不再列举。