基于小波变换的图像处理综述

摘要： 小波分析主要广泛应用在科学研究和工程技术中。虽然在现阶段的小波理论相对成熟，近些年关于小波理论的应用和研究也在不断的发展和更新。小波变化在图像处理领域中的应用也囊括图像与处理的所有方面。本文通过介绍小波变换的起源，将小波应用在图像处理中的压缩、还原图像、边缘检测和图像分割，宏观剖析小波的研究现状历史、发展动向及优势。

关键词： 小波分析；图像；应用；边缘检测；宏观剖析

1 小波变换的定义

小波分析是对Fourier分析的一个重要补充和完善。因此，小波变换的定义应该是尽可能的由少数几个函数生成的；而理想的小波基应该是类似于Fourier分析的。小波分析主要可以分为两个变换，即连续小波变换和离散小波变换。

2 小波分析处理图像的发展

小波分析是一个不断发展的过程，经历 “应用-理论-应用”的循环过程。小波分析是多学科交叉理论的结晶，包含泛函数分析、数值分析、分形理论、信息论、调和理论以及逼近论和时频分析等。并提出一种自适应的时-频局部化方法，可在时-频域任意转换，可聚焦任意信号的时段和频段，称为数学中的“望远镜”和“显微镜”。小波变换是 Fourier变换的深层次发展，是近年来工程领域关注的热点，将小波分析用于无损检测、医学CT、构件探伤等。小波起源就与信号处理密不可分，1984年，法国工程师J.Morlet和Grossman对地质信号的分界提出了伸缩、平移的概念，首次提出”Wavelets”一词。1985年，法国大数学家Meyer提出光滑正交小波的理念，证明一维小波的存在性，构造出小波函数，是小波数学理论的先驱。随后与他的学生Lemarie提出多尺度分析的思想。1988年，比利时数学家Ingrid Daubechies构造出具有紧支撑的有限光滑小波函数，并撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》为小波研究和应用领域的专家学者提供了系统的小波理论讲解。1989年，Mallat 在多分辨的基础上，构造mallat算法进行分解和重构，打开了小波应用的大门。1990年，Latto和Tenenbaum将小波分析用于偏微分方程求解，为小波分析的普及、发展及应用提供了动力。

3 小波在图像处理中的主要应用：

3.1 图像变换

小波变换具有捕获点奇异性的能力，而一维信号中的奇异性主要表现为点奇异性，因此，利用小波变换处理一维信号可以取得很好的效果。图像变换相当于是对数字图像阵列的预处理。因为图像阵列维数相对较大，能够直接进行处理复杂度高、计算繁复，就需要一种算法将它变换，减少计算量，小波变换亦能达到良好去除冗余度的效果。

3.2 图像压缩

数字图像的压缩目的即减少图像所需的比特数，经小波变换，通过时间域压缩图像的压缩比比传统的压缩方法高，速度快，而压缩后要能够保持信号与图像的特征基本是不变的，这也是一种有损压缩，但是在传递中抗干扰能力相对较强。Shappro推倒出离散正交小波变换，提出 “嵌入”式的“零树”小波编码图像压缩方法，相比于其它图像编码方法压缩比高、无方块效应。目前，基于小波变换的基础发展起来的图像编码方法称为新的静止图像压缩标准。而基于小波变换分析的压缩方法比较成功的是格型矢量量化小波系数编码，小波包最优基方法，多级树集合分裂算法（SPIHT），小波域多尺度ARMA模型纹理方法等。

3.3 图像增强与恢复

图像去噪方法分空域滤波、频域滤波和最优线性滤波法。Donoho和Johnstone在高斯噪声模型下，应用多维独立正态变量决策理论，提出了小波阈值去噪方法和改进的信号去噪的软阈值方法和硬阈值方法，推导出VisuShrink 阈值公式及SureShrink阈值公式，从理论上证明该阈值是渐进最优的。Weaver等人通过分析小波变换高频、低频系数的相关特性，提出基于小波变换域内高、低系数相关的去噪方法。图像复原即利用模糊理论、粗糙集理论等去模糊，研究表明，模糊图像是由降质函数与清晰图像卷积得到，通过分析使图像模糊的因素，如高斯噪声、脉冲噪声、白噪声等，建立图像退化模型，根据采集图像提供的资料恢复清晰的图像。

3.4 图像分割

图像分割是将一幅图像按照边缘或者区域分解进行一些有意义的部分的过程就是图像分割。把图像中具有不同灰度、颜色、边界或纹理的各个目标及背景的像分离出来是图像处理技术的重点和热点。目前主要有基于区域生成的分割方法、基于边界检测的分割方法和区域生成与边界检测的混合方法，但是任何一种方法都有它的针对性和局限性，因此图像分割原理急需补充与发展。

3.5 图像分析与理解

Mallat等最早就是将小波变换应用于信号的奇异性检验以及图像多尺度边缘提取中的，还取得较为满意的试验结果；而Lian，Chang，Mallat，Laineand，Fan等人将离散小波，小波包和小波框架的分解主要应用于纹理分析，提出了在小波或小波包变换区域内进行多尺度的纹理特征的提取以及纹理分类和纹理分割的方法；Allen等人利用小波进行图像的多尺度匹配。通过图像分析，研究图像中的目标及其相互之间的联系并做出对图像内容含义的理解以及对客观事实的解释，从而指导规划和行动。

4 小波在图像处理中的优势：

①局部性：具有表征局部特征的能力。小波变换在在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口），低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率。

②能量压缩性：能够用少量的大幅值系数表示图像的主要特征，降低冗余度。

③还原性好：对于数字化图像，只要像素阵列完整存储和传输，利用小波处理图像能无损复原原图像。

④处理精度高：数字图像处理的单位是像素点，而像素点的位置和灰度都是量化的。我们可以通过调整像素的间距和灰度的量化数量级来改变图像的精度。

⑤适用面广：由于数字图像处理适用于所有图像，因此我们处理的就只是图像数字化后的数字阵列。

⑥灵活性高：模拟图像处理只能进行线性运算，而数字图像处理就是一个离散的数学问题，而小波分析则可用于任何数字化图像。

参考文献：

[1]胡广书.现代信号处理教程[M].北京：清华大学出版社，2007：240-258.

[2]I.Daubechies.Ten Lectures on Wavelets.Philadelphia，PA：SIAM， 1992.

[3]I.Daubechies.Orthonormal bases of compactly supported m.on Pure and Appl Math 1988，41（7）：909-996.

[4]Shapiro J M.Embedded image coding using zerotree of wavelet coefficients.IEEE Trans.Signal Processing，1993，41（12）：3445-3462.

[5]D.L.Donoho，I.M.Johnstone.Ideal spatial adaptation by waveletshrinkage. Biometrika，1994，81（3）：425-445.

[6]S.Mallat，W.L.Hwang，Singularity detection and processing with wavelets，IEEE Trans.on Information Theory，1992，38（2）：617-643.

[7]Chang and C.Kuo.Texture analysis and classificatrion with tree-structured wavelet transform. IEEE Trans.Image Proc.，1993，2（4）：429-441.

[8]R.Allen，F.Kamangar and E.Stokely，Laplacian and orthonormal pyramid decomposions in coarse-to-fine registration.IEEE trans.SP，1993，141：3536-3541.