由矩形“折”出来的中考题

近年来，一类矩形折纸问题“折”进了中考数学题，有的考生感到解答起来不够顺手，颇具难度。本文就这类题型的解题规律作些探讨与提示，请看例题。

例1 (2006年甘肃兰州市)如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是()。

例2 (2006年山西省吕梁市)将一张纸片沿任一方向翻折，得到折痕AB(如图1)；再翻折一次，得到折痕OC(如图2)；翻折使OA与OC重合，得到折痕OD(如图3)；最后翻折使OB与OC重合，得到折痕OE(如图4)。展示恢复成图1形状，则∠DOE的大小是_______度。

解：如图所示，第二次翻折，折痕OC平分∠AOA'：第三次翻折，折痕OD'平分∠COA'，OD平分∠AOC；第四次翻折，折痕OE平分∠BOD'。

例3 （2006年湖南邵阳市)如图在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。

(1)求EF的长；(2)求梯形ABCE的面积。

解：如图，设EF=x，依题意知：CDE≌CFE。

DE=EF=x，

AF=AC-CF=4，AE=AD-DE=8-x

在RtAEF中，有AE2=AF2+EF2，

于是(8-x)2=42+x2，解得x=3，因此EF的长是3。

(2)由(1)知：AE=8-3=5，

例4 (2006年湖南郴州市)如图7，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b(a

(1)猜想两折痕MN PQ之间的位置关系，并加以证明。

(2)若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ,MN间的距离有何变化?请说明理由。

(3)若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°(如图10)，每次翻折后，非重叠部分的四边形MC'QD，及四边形BPA'N的周长与a，b有何关系，为什么?

解：(1)PN//MN。因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，且M在AD直线上，则有AM//BC，所以∠AMP=∠MPC，由翻折

(2)两折痕PQ,MN间的距离不变。过P作PHMN，则PH=PM・sin∠PMH。因为∠QPC的角度不变，所以∠C'PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的。又因为AD//BC，所以所有的PM都是相等的。又因为∠PMH=∠QPC，故PH的长不变。

(3)当∠QPC=45°时，四边形PCQC'是正方形，四边形C'QDM是矩形。因为C'Q=CD，C'Q+QD=a，所以矩形C'QDM的周长为2a。

同理可得，矩形BPA'N的周长为2a。所以两个四边形的周长都为2a，与b无关。

(1)填空：∠PCB=___度，P点半标为(___,___)；

(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C，P点)上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大?若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

当x=0时，y=1，C在此抛物线上。

(3)假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大。

ACP的面积为定值，要使四边形MCAP的面积最大，只需要使PCM面积最大。

过点M作MFOA于F，分别交CP、CB于E和N，过点P作PHOA于H，交CB于G。

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