试析转化思想在高中数学中的运用

摘 要：分别从函数、不等式、几何、方程、排列组合、概率的方面说明了转化思想在高中数学中广泛存在，并阐述了转换的类别与方法，以及转化的多样性、灵活性、重要性，以引导学生在解题中逐步应用转化思想。

关键词：转化思想；高中数学；类别；灵活；有效

所谓转化，就是把待解决或未解决的一些数学问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，这在高中数学中屡屡可见。以下就从几个不同的类型分别去说明：

一、在立体几何中

证明线面垂直，可转化为证线线垂直，证明线线垂直可转化为证线面垂直，证明面面垂直可转化为证线面垂直，求点到平面的距离，线到平面的距离可转化为求线面距离。

例1.已知：正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱AB，BC，BB1上的点，且BE=BF=BG求证：BD1平面EFG。

分析：在正方体中易得EF∥AC，而ACBD1，则BD1EF，同理BD1EG，要证BD1EF，BD1EG，可转化为证BD1AC，BD1AB1。

例2.已知：棱长为1的正方体ABCD―A1B1C1D1求：棱B1C1与对角线BD1间的距离。

分析：欲求B1C1与BD1间的距离，要求公垂线段不易，可转化为B1C1与BD1所在平面平行，然后利用线面之间的距离的求法，可求出B1C1与BD1间的距离。

例3.如图：已知：正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2，EF分别点AB，AD中点，求点B到平面GEF的距离。

分析：如果直接找点B到平面GEF的距离不好找，连结BD，BD∥EF可转化为求BD到平面GEF的距离，问题就简单化了。

二、在解析几何中

例1.已知：a+b=3，求■的最小值

分析：■=■

可转化为（－5，2）与x+y=3直线上各点连线的最值问题，显而易见，垂线段最短。

例2.若实数x，y满足x2+y2=1，求■的最小值。

分析：如果直接找最小值，不容易，可联想k=■可转化为（1，2）与圆上的各点连线的斜率的最值问题：显然，kPA=■。

三、在不等式中

当然，几何证明题和不等式证明可以利用等价转化去证明，这样的例子不胜枚举。

例1.求证：■+■＞■（a＞b＞0）

分析：当然可以利用分析法，但是可转化为几何问题，利用两边之和大于第三边。

例2.a，b，c∈［0，1］，求证：a+b+c－ab－bc－ca－1≤0

分析：可转化为函数f（a）=（1－b－c）a+b+c－bc－1

f（0）=b+c－bc－1=（1－c）（b－1）≤0

f（1）=1－b－c+b+c－bc－1=－bc≤0

又a∈［0，1］可利用一次函数图像的关系，命题得证。

四、在函数中

例1.求函数y=■+■（a＞0，b≥0）在（0，1）上的极小值。

分析：当然，可以求导，但抓住x+1－x=1，可化归为sin2α+cos2α，令x=sin2α，1－x=cos2α，问题就解决了。

即：y=a2csc2α+b2sec2α=a2+b2+a2cot2α+b2tan2α≥（a+b）2

例2.方程：3x+x－3=0与方程：log3x=3-x所有根之和为多少？

分析：此题可把方程转化为y1=3x，y2=yx3，y3=3-x值相等的问题：

3-x2=x1，所有根之和为3.

例3.试判断函数f（x）＝ln（■+x）的单调性.

分析：由题设知:函数的定义域为R，可知f（x）为奇函数，此题可转化为证f（x）在［0，+∞）上单调性的问题。

五、在排列组合中

例.4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球：

1.若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？

2.取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不低于5分，则有多种不同的取法？

分析：抓住取出4个球，可转化为（1+x）4（1+x）6=（1+x）10中两边x4的系数相等：

C04C46+C14C36+C24C26+C34C16+C44=C410

运用此值等式解决1和2就容易了。

1当然是C24C26+C34C16+C44或C410-C46-C14C36

2当然是C410-C46或C14C36+C24C26+C34C16+C44

六、在概率中

例1.十层楼中的电梯从底层到顶层停不少于三次的概率是多少？停几次的概率最大？

分析：电梯在每一层的结果只有两种，“停”或者“不停”，且各层之间相互独立，所以属于贝努利型概率。停几次概率最大问题可以转化成二项式■+1-■■的展开式中求最大项的问题来解决。

解：二项式■+1-■■的同项为：C r9■■■■=C r9■■，即为停r次的概率，显然，当r=4或者5时，C r9■■最大，所以停4次或停5次的概率最大。

例2.某地对空导弹的击中目标的概率是90％，至少以多少枚这样的导弹同时发射才能击中目标的概率超过99％？

解：设同时发射n（n∈N*）枚导弹，由题意知：有1枚击中、有2枚击中、有3枚击中、……有n枚击中都符合要求。正面考虑较困难，因此采用“正难则反”的转化思想。

由于n枚都击不中的概率为0.1n，所以至少有一枚击中的概率为1-0.1n，若使1-0.1n 99%，即0.1n＜0.01■n＞2，所以至少需3枚导弹同时发射才能使击中目标的概率超过99％。

从以上可以看出：转化的思想方法是把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把非常规问题转化为常规问题，从而使很多问题获得解决的思想，那么掌握了转化的思想和以上的种类，转化思想是否学好了？不！因为转化具有灵活性、多样性，对于一个数学问题来说，我们可以说是一个数学系统或数学结构，组成其元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，但其形式并非唯一，而是多种多样，所以用转化的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一模式去遵循，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于解决此问题的转化方法。

因此转化思想是一种重要的数学思想方法，在近几年高考试题中都出现，我们在教学中必须重视，逐步让学生掌握这一思想方法。

参考文献：

［1］熊治周.例谈转化思想在高中数学教学中的运用［J］.中学生数理化：高中版・学研版，2011（2）.

［2］廖启会.转化思想在中学数学中的应用［J］.中学教学参考，2011（20）.

（作者单位 广西壮族自治区岑溪市归义中学）