消元法与矩阵初等行变换比较教学探究明

摘 要 通过将方程组与

矩阵、方程与行的比较，由方程组的消元法得出矩阵的初等行变换，而线性代数中大多数情况下实施初等行变换可以解决所遇到的问题。从旧知识中发现新的观点，来适应计算机时代的发展。

关键词 方程组 矩阵 消元法 初等行变换

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）13-0001-02

线性方程组的消元法思想贯穿于整个线性代数的教学过程中。由于很多教材在安排的过程中将矩阵内容安排在第二章，矩阵的初等变换与线性方程组安排在第三章，同时先讲矩阵的初等变换，后讲解线性方程组。这样的安排很难突出消元法的重要地位以及方程组的矩阵写法。

经过多年的教学实践，我们直接引入线性方程组的消元法并将方程组写成矩阵的形式。此时再通过形式上来比较消元法与矩阵的初等变换，就不难发现它们两者之间的关系：对象不同，思想一样。为了突出消元法的思想，以一个简单的二元一次方程组为例，这样可以避免两个问题：1.学生将解方程组的重心放在数的处理上面；2.避免使用字母所来的抽象运算问题。

一、中学求解二元一次方程组所用消元法及优缺点分析

我们以一个简单的二元一次方程组为例讲解。

第一步：将 乘以再减去 得：= ；第二步：再将 式两边同时除以得：y=1；第三步：再将 回代到 得到。于是此方程组的解为。

中学所教的这种消元法的写法好处：

（1）书写比较简洁，适合人工计算；

（2）每次只针对一个方程，计算时注意力可以更加集中。

缺点：

（1）追求简洁的同时，没能很好表现出解方程组过程的通解性；

（2）在求解过程中，使用计算方法比较多（加法、减法、乘法以及回代），文字叙述过多；

（3）没能体现出方程组的解与字母的关系，同时标号需要不断地变化。

二、大学所讲的高斯消元法优缺点

第一步：交换 两行得；第二步：将 祝？2）+ 得 ；第三步：将②祝ǎ┑玫谒牟剑航祝ǎ？①。

大学所讲的消元法的优点：

（1）保证每次消元后方程组的个数没有减少（直觉），隐含通解变换；

（2）使用的标号只起到标示行数的目的；

（3）包含了消元法所有的思想；

大学所讲的消元法的缺点：

（1）书写较为繁琐；

（2）未知数个数在方程上有所减少。

三、直观的体现矩阵特点的写法

将2中的第二步写成 ，将第三步写成 ，将第四步写成 ，那么在整个运算过程中，保证了未知数的个数永远都没有变化，变化的只是在每个位置上的数字。由此我们可以摆脱未知数只在乎数字所在的位置，将含有未知数的表达式写出加法，于是可以将方程组写成以下形式：

由此矩阵的雏形也就很明显了，矩阵就是一张简化的二维表格（这对学生有相当的震撼），在简化掉方格，简化掉文字后就变成了。

四、大学所用高斯消元法变换思想到矩阵初等行变换的转换

由3中解方程组所采用的方法归纳出来也就是：

（1）交换两个方程的位置，方程组的解不变；

（2）将一个方程乘以一个系数加到另一个方程组上去，方程组的解不变；

（3）方程组的两边同时乘以一个系数，方程组的解不变。

由上面我们讲方程组的形式写成矩阵的形式，那么矩阵的初等行变换很自然的就可以得出，只需要将方程换成行来说就可以了，于是矩阵的初等行变换就是：

（1）交换两行；

（2）将一行乘以一个系数加到另外一行；

（3）将一行的两边同时乘以一个系数。

五、总结

将方程组与矩阵对应起来，将方程与行对应起来，将方程组的消元法与矩阵的初等行变换对应起来，那么很自然的将以前的知识与现在的知识紧密地结合在一起。如果说以前的方法适合于手工计算的话，那么进入信息时代，从矩阵的角度来看待方程组更有利于实现计算机的计算模式。我们的教学也需要仔细琢磨，从以人为思考的角度转向以计算机思考的角度，毕竟计算机与人比起来更机械，却也更高效。

参考文献：

[1]林群，田载今，薛彬等.数学（七年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2012：92-118.

[2]同济大学数学系.线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007，（5）.

[3]文传军，许定亮，华婷.高斯消元五步骤法[J].江苏：常州工学院学报，2012，（6）.

[4]方文波.线性方程组的矩阵求解算法[J].合肥：大学数学，2004，（5）.

基金项目：贵州省教育厅青年基金项目（黔教科201055）